Enunciado

17.Uma mesa de servi uniforme de 5   k g está apoiada em cada lado por dois pares de ligação, A B e C D , e molas C E . Se a tigela tem massa 1   k g e está em equilíbrio quando θ = 45 ° , determine a rigidez k de cada mola. As molas estão livres quando θ = 90 ° . Despreze a massa das ligações.

Passo 1

Nesse problema podemos considerar apenas uma metade da mesa sendo assim só iremos considerar uma mola para o problema, e metade da massa da tigela e metade da massa da mesa.

Vamos passar as medidas que que estão em m m , para m , que é o mais usual de se mexer.

Primeiro temos que considerar um deslocamento virtual positivo δ θ positivo, com esse deslocamento virtual, as forças W t (peso da tigela), W m (peso da mesa) e F k (força elástica) realizam trabalho, pois são as únicas que tem deslocamentos em suas direções devido ao deslocamento virtual.

Para resolvermos esse problema precisamos escrever F k , que é definida como:

F k = k x

Onde k é a constante elástica da mola e x o deslocamento da posição de relaxamento da mola até a posição atual. Então precisamos achar x , que é dado por:

x = 0,25 cos ⁡ θ

Que é o quando o comprimento da mola variou.

Logo:

F k = k 0,25 cos ⁡ θ

= 0,25 k cos ⁡ θ

Vamos adotar como referência para as distâncias a base e a parede onde estão os braços já que elas não variam com o deslocamento virtual.

A coordenada x e é a posição onde a força F k atua em C em relação a parede fixa, a coordenada y t é a posição onde a força W t atua na mesa em relação ao chão fixo e y m é a posição onde a força W m atua na mesa em relação ao chão fixo. Agora vamos expressar essas posições em relação a θ .

x e = 0,25 cos ⁡ θ

y t = 0,25 sin ⁡ θ

y m = 0,25 sin ⁡ θ

Se derivarmos essas expressões obtemos os deslocamentos virtuais da tigela, da mesa e do ponto C onde a força elástica atua, da seguinte forma:

δ x e = - 0,25 sin ⁡ θ   δ θ

δ y t = 0,25 cos ⁡ θ   δ θ

δ y m = 0,25 cos ⁡ θ   δ θ

Passo 2

Agora vamos usar a equação do trabalho virtual para aí sim encontrarmos θ , então:

δ U = 0

- F k δ x e - W t δ y t - W m δ y m = 0

As forças W t e W m são dadas por:

W t = 0,5 ⋅ 9,8 = 4,9

W m = 2,5 ⋅ 9,8 = 24,5

Continuando então:

⇒ - 0,25 k cos ⁡ θ - 0,25 sin ⁡ θ   δ θ - 4,9 0,25 cos ⁡ θ   δ θ - 24,5 ( 0,25 cos ⁡ θ   δ θ )

⇒ δ θ 0,0625 k sin ⁡ θ cos ⁡ θ - 1,225 cos ⁡ θ - 6,125 cos ⁡ θ = 0

Como δ θ é diferente de zero:

0,0625 k sin ⁡ θ cos ⁡ θ - 7,35 cos ⁡ θ = 0

⇒ 0,0625 k sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 7,35 cos ⁡ θ

⇒ 0,0625 k = 7,35 sin ⁡ θ

k = 117,6 sin ⁡ θ

Passo 3

Agora usando θ = 45 ° como é fornecido no enunciado:

k = 117,6 sin ⁡ 45 ° = 166,3   N / m

Resposta

k = 166,3   N / m

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