Enunciado

20. A tensão que age nos dois planos em um ponto é indicada na figura. Determine a tensão de cisalhamento no plano a - a e as tensões principais no ponto.

Passo 1

Bem! Vamos analisar a figura do enunciado. A questão pede basicamente, a tensão cisalhante no plano a - a e as principais. Agora se você analisar bem esse plano, vai reparar ali uma tensão de 80   M P a . Pois bem, essa é a tensão normal em a - a , uma tensão no eixo x , conforme um sistema de referencial por nós adotado. Só que espera um pouco! Mais do que estar no eixo x , essa é a transformação de tensão σ x ' nesse plano. Mas transformação de tensão de quê?

Aí que está! Nossa σ x ' é resultado da transformação de tensão lá daquela outra tensão presente na figura do enunciado, no plano b - b , de 60   M P a . Ora bolas, o que temos que fazer, então é achar as tensões no plano b - b e usar aquelas famigeradas equações de transformação que já conhecemos. Vamos lá!

Passo 2

A tensão presente no plano b - b , é aquela de 60   M P a . Mas se você reparar bem, ela pode ser decomposta em outras duas tensões, sendo que uma vai ser perpendicular ao plano e a outra vai ser paralela ao plano, nele contido. Ora, vamos ter então, uma tensão normal σ x e uma tensão cisalhante τ x y . Bora calculá-las:

σ x é dada por:

σ x = ( 60   M P a ) sen ⁡ 60 °

σ x = 51,96   M P a

E τ x y   é dada por:

τ x y = 60   M P a cos ⁡ 60 °

τ x y = 30   M P a

Passo 3

Eureca! Se temos o valor de   σ x ' , τ x y ,   σ x e do ângulo θ entre os plano a - a e b - b , que é 45 ° , vamos usar então a equação de transformação para σ x ' , para ver se arrumamos alguma coisa:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

Substituímos os valores numéricos de cada variável.

80   M P a = 51,96   M P a + σ y 2 + 51,96   M P a - σ y 2 cos ⁡ 90 ° + ( 30   M P a ) sen ⁡ 90 °

80   M P a = 51,96   M P a + σ y 2 + ( 30   M P a ) sen ⁡ 90 °

51,96   M P a + σ y 2 = 80   M P a - 30   M P a

51,96   M P a + σ y 2 = 50   M P a

51,96   M P a + σ y = 100   M P a

σ y = 48,04   M P a

Ia lá! Não é que obtivemos o valor de σ y ?! Acho que com isso, já podemos achar a tensão de cisalhamento τ x ' y ' no plano a - a , né? Vamos ver:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y cos ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - 51,96   M P a - 48,04   M P a 2 sen ⁡ 90 ° ⁡ +   ( 30   M P a ) cos ⁡ 90 °

τ x ' y ' = - 1,96   M P a

Passo 4

Quase tudo pronto! Tá faltando só, descobrir as tensões principais, que são dadas através da seguinte fórmula:

σ p r i n c i p a i s = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituímos os valores numéricos adequados:

σ p r i n c i p a i s = 51,96   M P a + 48,04   M P a 2 ± 51,96   M P a - 48,04   M P a 2 2 + ( 30   M P a ) 2

σ p r i n c i p a i s = 50 ± 30,064   M P a

Mas não vamos esquecer que essa fórmula nos dá uma tensão máxima σ 1 e uma tensão mínima σ 2 . Para encontrar as duas, tá na cara que ná máxima basta somar e na mínima basta subtrair. Logo:

σ 1 = 50 + 30,064   M P a

σ 1 ≅ 80,06   M P a

σ 2 = 50 - 30,064   M P a

σ 2 ≅ 19,94   M P a

Resposta

τ x ' y ' = - 1,96   M P a

T e n s ã o   M á x i m a → σ 1 ≅ 80,06   M P a

T e n s ã o   M í n i m a → σ 2 ≅ 19,94   M P a

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