Enunciado

2.37. Se a intensidade da força resultante que atua sobre a chapa precisa ser 6   k N e sua direção no sentido horário do eixo x positivo é θ = 30 ° , determine a intensidade de F 2 e o ângulo Φ

Passo 1

Fala, querido!

O exercício pede para que a gente calcule a intensidade de F 2 e o ângulo Φ .

Para isso precisaremos decompor as forças nos eixos x e y e trabalhar com os vetores decompostos.

Ele nos dá a informação que de que a resultante é 6   k N e tem direção θ = 30 ° no sentido horário. A gente pode descobrir as componentes dessa resultante nos eixos x e y com essa informação. Nossa força resultante está assim:

Daí a gente pode achar os valores das componentes dela nos eixos x e y:

F R x = F R ⋅ cos ⁡ θ = 6 ⋅ cos ⁡ 30 ° = 5,19   k N

F R y = - F R ⋅ sin ⁡ θ = - 6 ⋅ sin ⁡ 30 ° = - 3   k N

Percebe que essa última é negativa porque a força está apontando para o sentido negativo de y.

Aí vem o pulo do gato: a gente pode achar expressões para R x e R y em função de F 2 e ϕ , calculando a componente de cada força nos eixos e somando. Comparando com esses valores aí de cima, achamos o que a questão pede!

Bora lá!

Passo 2

Vamos determinar a intensidade das forças no eixo x. Repara que para F 1 , o eixo x é oposto ao ângulo que da sua orientação. Por isso a gente coloca seno. E repara que ela aponta para o lado negativo do eixo x , aí sua componente fica negativa:

F 1 x = - 4 ⋅ sin ⁡ 30 ° = - 2   k N

Já para F 2 , vemos que ela aponta para a parte positiva do eixo x, e que o ângulo da sua orientação não é oposto a esse eixo, então a gente a multiplica por cos ⁡ ϕ ,  

F 2 x = F 2 ⋅ cos ⁡ Φ

Para calcular F 3 x , você tem que reparar no triângulo da figura

A gente vai multiplicar F 3 pelo cosseno de θ , já que esse ângulo tá coladinho com o eixo x. E aí vamos lembrar que cos ⁡ θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o n e t u s a = 4 5

F 3 x = 5 ⋅ 4 5 = 4   k N

Repara que ela aponta para o sentido positivo de x.

Agora vamos calcular a intensidade da força resultante no eixo x

F R x = F 1 x + F 2 x + F 3 x = - 2 + F 2 ⋅ cos ⁡ Φ + 4 = ( F 2 ⋅ cos ⁡ Φ + 2 )   N

Passo 3

Agora a gente usa a mesma estratégia para calcular determinar as forças no eixo y

Repara que F 1 aponta para a parte negativa de y. E que o seu ângulo de orientação está colado no eixo y. Vamos usar cosseno e deixar ela negativa:

F 1 y = - 4 ⋅ cos ⁡ 30 ° = - 3,46   k N

F 2 está no sentido positivo e seu ângulo é oposto a y, então:

F 2 y = F 2 ⋅ sin ⁡ ϕ

Vamos usar uma estratégia parecida com F 3 x para calcular F 3 y , mas agora usando seno, e lembrando s i n = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = 3 5

F 3 y = - 5 ⋅ 3 5 = - 3   k N

F 3 y está no sentido oposto ao eixo y, e por isso o sinal negativo.

Agora vamos calcular a intensidade da força resultante no eixo y

F R y = F 1 y + F 2 y + F 3 y = - 3,46 + F 2 ⋅ sin ⁡ Φ - 3 = ( F 2 ⋅ sin ⁡ Φ - 6,46 )   N

Passo 4

Repara que agora poderemos determinar a intensidade de F 2 . Isso porque temos duas expressões para R x e R y . Podemos igualar e fazer um sisteminha!

F R x = ( F 2 ⋅ cos ⁡ Φ + 2 )   k N F R x = 5,19   k N ( F 2 ⋅ cos ⁡ Φ + 2 )   k N = 5,19   k N F 2 ⋅ cos ⁡ Φ = 5,19 - 2 = 3,19

Seguindo o mesmo raciocínio

F R y = F 2 ⋅ sin ⁡ Φ - 6,46   k N F R y = - 3   k N F 2 ⋅ sin ⁡ Φ - 6,46 N = - 3   k N F 2 ⋅ sin ⁡ Φ = 3,46   N

Agora podemos elevar as duas equações ao quadrado e soma-las para sumir com ϕ e descobrir o valor de F 1

F 2 2 ⋅ cos 2 ⁡ Φ + F 2 2 ⋅ sin 2 ⁡ Φ = 3,19 2 + 3,46 2 F 2 2 ⋅ ( cos 2 ⁡ Φ + sin 2 ⁡ Φ ) = 3,19 2 + 3,46 2

Lembrando da relação trigonométrica que cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x = 1 , portanto:

F 2 × 1 = 3,19 2 + 3,46 2 = 4,71   k N

Passo 5

Agora que sabemos a intensidade de F 2 podemos calcular o ângulo Φ .

Aqui você pode escolher entre F R x   e   F R y , eu vou usar F R x .

F R x = ( F 2 ⋅ cos ⁡ Φ + 2 )   k N 5,19 = 4,71 ⋅ cos ⁡ Φ + 2 Φ = c o s - 1 5,19 - 2 4,71 = 47,37 °

Resposta

F 1 = 4,71   k N Φ = 47,37 °

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