Enunciado

Duas cargas ascendentes são exercidas na pequena treliça tridimensional. Reduza essas duas cargas a um único sistema de força-binário no ponto O. Mostre que  R → é perpendicular a M O → . Em seguida, determine o ponto no plano x - z através do qual a resultante passa.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede três coisas:

i) Determinar um sistema força-binário equivalente ao sistema de forças original no ponto O;

ii) Mostrar que a resultante R → é perpendicular ao momento M O → ;

iii) Determinar as coordenadas do ponto de interseção da resultante com o plano x - z .

O enunciado nos pede para substituir o sistema original por um sistema força-binário equivalente no ponto O. Vale lembrar que essa substituição não pode alterar o movimento original do corpo, então os efeitos do nosso novo sistema de força-binário deve ser igual ao efeito do sistema original composto pelas duas forças. Bora lá então!

Para determinar a resultante  R → do sistema força-binário, basta somar vetorialmente todas as forças atuantes no sistema original.

R → = 200 + 400 j ^   l b

R → = 600 j ^   l b

Passo 2

Tranquilo né? Agora vamos calcular o momento M O → em torno de O. Ele é dado pela soma do produto vetorial dos vetores distância de cada uma das forças em relação ao ponto O, pelo valor de cada força.

M O → = ∑ r → × F →

M O → = 8 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^ × 200 j ^ + 8 i ^ + 0 j ^ - 3 k ^ × 400 j ^   l b ∙ f t

M O → = 1600 k ^ + 3200 k ^ + 1200 i ^   l b ∙ f t

M O → = 1200 i ^ + 4800 k ^   l b ∙ f t

Note que R → possui apenas componente na direção j ^ , paralela ao eixo y , enquanto M O → possui componentes nas direções i ^ e k ^ , paralelo ao plano x - z , o que prova que, de falo, eles são perpendiculares.

∴ R → ⊥ M O →

Passo 3

Até aqui resolvemos nossos itens i) e ii), para determinar as coordenadas r x e r z da interseção de R → com o plano x - z , vamos levar em consideração que:

M O → = r → × R →

1200 i ^ + 4800 k ^ = ( r x i ^ + r z k ^ ) × 600 j ^

1200 i ^ + 4800 k ^ = 600 r x k ^ - 600 r z i ^

Separando as variáveis nas direções i ^ e k :

1200 = - 600 r z 4800 = 600 r x

r z = - 2   f t r x = 8   f t      

Sendo assim, as coordenadas x e y do ponto através do qual a resultante passa são:

x = 8   f t

z = - 2   f t

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

R → = 600 j ^   l b

M O → = 1200 i ^ + 4800 k ^   l b ∙ f t

R → ⊥ M O →

x = 8   f t

z = - 2   f t

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