Enunciado

2.96 Para os cabos do Problema 2.89, sabendo que a tração é 1.425 N no cabo AB e 2.130 N no cabo AC, determine a intensidade, a direção e o sentido da resultante das forças exercidas em A pelos dois cabos.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem o módulo das forças e a direção delas definida por dois pontos, esse é o Caso 3 da Metodologia para Resolução de Problemas que o livro nos ensina. Quando temos esses pontos precisamos encontrar o vetor unitário, que vai nos dar a direção que a força atua e então multiplicar esse vetor pela intensidade da força.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os vetores AB e AC que vão nos dar as direções das forças, para isso é só olhar a Figura do exercícios, onde encontramos as dimensões:

A B = 900   i - 600   j - 360   k

e

A C = 900   i - 600   j + 920   k

A gente precisa do módulo desses vetores também, porque quando a gente dividir o vetor pelo seu módulo teremos o vetor unitário (Equação 2.27):

λ → = M N → M N

Para encontrar o módulo de um vetor é só tirar a raiz quadrada da soma dos quadrados, ou de um escrevendo de um jeito mais bonitinho:

A B = A B x 2 + A B y 2 + A B z 2

Substituindo pelos valores:

A B = 900 2 + - 600 2 + - 360 2

A B = 1140

Da mesma forma para o vetor A C :

A C = 900 2 + - 600 2 + 920 2

A C = 1420

Agora vamos achar os vetores unitários:

λ → A B = A B → A B

λ → A B = 900   i - 600   j - 360   k 1140

λ → A B = 0,789   i - 0,526   j - 0 , 316   k

Agora para o A C :

λ → A C = A C → A C

λ → A C = 900   i - 600   j + 92 0   k 1420

λ → A C = 0 , 634   i - 0 , 423   j + 0 , 648   k

Show, a primeira parte já foi.

Passo 3

Agora que temos os vetores unitários, que estão na direção da força, só precisamos multiplicar o módulo da força por esse vetor, que encontraremos cada um dos vetores força (Equação 2.28):

F → A B = F A B ⋅ λ → A B

Do enunciado, a gente sabe que F A B = 1 . 425   N , então:

F → A B = 1 . 425 ⋅ 0,789   i - 0,526   j - 0,316   k

F → A B = 1.124   i - 750   j - 45 0   k

Para F → A C , sabemos que F A C = 2 . 13 0   N :

F → A C = F A C ⋅ λ → A C

F → A C = 2 . 13 0 ⋅ 0,634   i - 0,423   j + 0,648   k

F → A C = 1 . 35 0   i - 901   j + 1 . 3 8 0   k

Agora é só somar os vetores para obtermos o resultante:

F → = F → A B + F → A C

F → = 1.124   i - 750   j - 450   k + 1.350   i - 901   j + 1.380   k

F → = 2 . 4 7 4   i - 1 . 651   j + 9 30   k

Para encontrar o módulo do vetor resultante vamos usar a mesma fórmula que usamos no Passo anterior:

F = F x 2 + F y 2 + F z 2

F = 2 . 4 7 4 2 + - 1 . 65 1 2 + 9 30 2

F = 3 . 116   N

Passo 4

E a direção se dá pelo ângulos θ x , θ y e θ z , e só precisamos aplicar nas fórmulas:

cos ⁡ θ x = F x F

cos ⁡ θ y = F y F

cos ⁡ θ z = F z F

Substituindo os valores que temos:

cos ⁡ θ X = 2 . 4 7 4 3.116

θ x = cos - 1 ⁡ 2.474 3.116

θ x = 37 , 4 °

Para θ y :

cos ⁡ θ y = - 1 . 651 3.116

θ y = cos - 1 ⁡ - 1.651 3.116

θ y = 1 22 , 0 °

Para θ z :

cos ⁡ θ z = 9 30 3.116

θ z = cos - 1 ⁡ 930 3.116

θ z = 72 , 6 °

Resposta

F = 3 . 116   N

θ x = 37 , 4 °

θ y = 1 22 , 0 °

θ z = 72 , 6 °

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