Enunciado

Expresse a força F como um vetor cartesiano; depois determine seus ângulos de direção coordenados.

Passo 1

Para expressar nossas forças como vetor vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos que definem a sua direção, repare que o vetor sai do ponto A e aponta para B .

Para A vamos começar encontrando sua coordenada z através da sua distância a origem e do ângulo que faz com o plano x y :

z A = 3 sin ⁡ 70 °

z A = 2,8   m

Enquanto isso sua projeção no plano x y fica:

A x y = 3 cos ⁡ 70 °

A x y = 1,0   m

A partir disso podemos encontrar as coordenadas em x e y :

x A = A x y sin ⁡ 30 °

x A = - 1,0 sin ⁡ 30 °

x A = - 0,50   m

y A = A x y cos ⁡ 30 °

y A = 1,0 cos ⁡ 30 °

y A = 0,87   m

Temos então:

A - 0,50   ,   0,87   ,   2,8   m

B 1,5   ,   - 2,1   ,   0,0   m

Definimos agora nosso vetor posição pelo ponto final menos inicial com seus devidos vetores unitários, assim:

r = x f - x i i + y f - y i j + ( z f - z i ) k

r A B = 2,0 i - 1,23 j - 2,8 k   m

Passo 2

Agora encontramos o módulo dos nossos vetores:

r A B = 2,0 2 + - 1,23 2 + - 2,8 2

r A B = 3,6   m

E então o vetor unitário que determina a direção e o sentido do nosso vetor é:

u = r r

u A B = ( 2,0 i - 1,23 j - 2,8 k ) 3,6

u A B = 0,56 i - 0,34 j - 0,78 k

Passo 3

Com isso, podemos expressar nossa força como um vetor cartesiano:

F = F   u A B

F = 675   N   0,56 i - 0,34 j - 0,78 k

F = 378 i - 229 j - 526 k   N

Passo 4

E a intensidade da força será:

F = 378 2 + - 229 2 + - 526 2

F = 687   m

Passo 5

Finalmente encontramos os ângulos de direção coordenados da força pela relação:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ 378 687 ∴ α = 57 °

β = cos - 1 ⁡ - 229 687 ∴ β = 109 °

γ = cos - 1 ⁡ - 526 687 ∴ γ = 140 °

Resposta

F = 687   m

α = 57 °

β = 109 °

γ = 140 °

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