Enunciado

Dois cabos são usados para segurar o mastro guincho na posição e sustentar a carga de 1500 N. Se a força resultante é direcionada ao longo do mastro do ponto A para O , determine os valores de x e z para as coordenadas do ponto C e a intensidade da força resultante. Considere F B = 1610 N e F C = 2400 N.

Passo 1

Nesse exercício sabemos a força resultante agirá apenas ao longo do eixo y no sentido negativo.

Vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos que definem a direção dos nossos vetores:

A 0 ,   6 ,   0   m

B - 2 ,   0 ,   3   m

C x ,   0 ,   z   m

Definimos agora nossos vetores posição pelo ponto final menos inicial com seus devidos vetores unitários, assim:

r = x f - x i i + y f - y i j + ( z f - z i ) k

r B = { ( - 2 - 0 ) i   +   ( 0 - 6 ) j   +   ( 3 - 0 ) k )   m

r B = { - 2 i - 6 j + 3 k } m

r C = x - 0 i + 0 - 6 j + z - 0 k   m

r C =   { x i - 6 j + z k }   m

Passo 2

Agora encontramos o módulo dos nossos vetores:

| r B |   = - 2 2 + - 6 2 + 3 2

r B = 7   m

r C = x 2 + - 6 2 + z 2

r C = x 2 + z 2 + 36   m

E então o vetor unitário que determina a direção e o sentido dos nossos vetores são:

u = r r

u B = ( - 2 i - 6 j + 3 k ) 7

u B = - 2 7 i - 6 7 j + 3 7 k

u C = ( 3 i - 6 j + 2 k ) 7

u C = x x 2 + z 2 + 36 i - 6 x 2 + z 2 + 36 j + z x 2 + z 2 + 36 k

Passo 3

Com isso, podemos expressar nossas forças como vetores cartesianos:

F = F   u

F B = F B   u B =   1610   - 2 7 i - 6 7 j + 3 7 k

F B = { - 460 i - 1380 j + 690 k }

F C = F C   u C =   2400   x x 2 + z 2 + 36 i - 6 x 2 + z 2 + 36 j + z x 2 + z 2 + 36 k

F C = 2400 x x 2 + z 2 + 36 i - 14400 x 2 + z 2 + 36 j + 2400 z x 2 + z 2 + 36 k

Passo 4

Sabemos que nossa força resultante é a soma de todas as forças:

F R = F B + F C + W

E que essa agirá apenas no eixo y , logo, nos outros eixos nossa resultante é zero, assim:

No eixo x :

F R x = F B x + F C x + W x

0 = - 460 + 2400 x x 2 + z 2 + 36 + 0

460 = 2400 x x 2 + z 2 + 36 ( 1 )

No eixo y :

F R = F R y = F B y + F C y + W y

F R y = - F R = - 1380 - 14400 x 2 + z 2 + 36

F R = 1380 + 14400 x 2 + z 2 + 36 ( 2 )

No eixo z :

F R z = F B z + F C z + W z

0 = 690 + 2400 z x 2 + z 2 + 36 - 150 0

2400 z x 2 + z 2 + 36 = 810 ( 3 )

Passo 5

Agora trabalhamos nossas equações até descobrir as incógnitas, vamos dividir a equação 1 pela equação ( 3 ) :

460 810 = 2400 x x 2 + z 2 + 36 ⋅ x 2 + z 2 + 36 2400 z

x = 0,5679 z 4

E agora encontramos z substituindo ( 4 ) em ( 1 ) :

460 = 2400   0,5679 z 0,5679 z 2 + z 2 + 36

2400   0,5679 z 460 2 = 0,5679 z 2 + z 2 + 36

Resolvendo isso obtemos:

z = 2 , 20   m

Agora podemos encontrar x substituindo nosso valor de z na equação ( 4 ) :

x = 0,5679 z

x = 0,5679   2,20

x = 1,25   m

E finalmente substituímos nossos valores de x e z na equação ( 2 ) para descobrir a força resultante:

F R = 1380 + 14400 x 2 + z 2 + 36

F R = 1380 + 14400 ( 1,25 ) 2 + ( 2,20 ) 2 + 36

F R = 3592   N

Resposta

x = 1,25   m

z = 2,20   m

F R = 3592   N

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