Enunciado

2.97 A ponta de um cabo coaxial A E é fixada ao poste A B que é ancorado pelos fios A C e A D . Sabendo que a tensão do fio A C é 670   N e a resultante das forças exercidas em A pelos fios A C e A D sevem estar contidas no plano x y , determine ( a ) a tensão em A D , ( b ) a intensidade, a direção e o sentido da resultante das duas forças.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem o módulo de uma das forças e os ângulos θ y e ϕ , esse é o Caso 1 da Metodologia para resolução de problemas que o livro nos ensina. Como temos esses ângulos só precisamos decompor as forças e somar os dois vetores e como a resultante está no plano x y a resultante em z deve ser nula. Para decompor as forças podemos usar as equações (2.16):

F y = F cos ⁡ θ y

F h = F sen ⁡ θ y

E (2.17):

F x = F sen ⁡ θ y cos ⁡ ϕ

F z = F sen ⁡ θ y sen ⁡ ϕ

Passo 2

Então bora lá! Para o item (a), vamos começar decompondo as tensões nos cabos T A C e T A D nos eixos x , y e z com base nos ângulos fornecidos e com a ajuda das formulas do passo 1:

T A C → = 670 cos ⁡ 60 ° cos ⁡ 20 ° i ^ - sen ⁡ 60 ° j ^ - cos ⁡ 60 ° sen ⁡ 20 ° k ^

T A D → = T A D sen ⁡ 36 ° sen ⁡ 48 ° i ^ - cos ⁡ 36 ° j ^ + sen ⁡ 36 ° cos ⁡ 48 ° k ^

E uma vez que a resultante em A deve equilibrar as tensões nos cabos:

R → = T A C → + T A D →

R → = 670 cos ⁡ 60 ° cos ⁡ 20 ° i ^ - sen ⁡ 60 ° j ^ - cos ⁡ 60 ° sen ⁡ 20 ° k ^

+ T A D sen ⁡ 36 ° sen ⁡ 48 ° i ^ - cos ⁡ 36 ° j ^ + sen ⁡ 36 ° cos ⁡ 48 ° k ^

Passo 3

Segundo o enunciado, a reação das forças exercidas em A por T A C e T A D está no plano x y , logo R z = 0 . Igualando então a componente k ^ de R → a zero, temos:

670 - cos ⁡ 60 ° sen ⁡ 20 ° + T A D sen ⁡ 36 ° cos ⁡ 48 ° = 0

T A D = 670 - cos ⁡ 60 ° sen ⁡ 20 ° sen ⁡ 36 ° cos ⁡ 48 °

T A D = 291,32   N

Que pode ser descrito vetorialmente como:

T A D → = 127,25 i ^ - 235,68 j ^ + 114,58 k ^   N

Passo 4

Agora que temos T A D , podemos substituir na fórmula R → para determinar a resultante das forças e resolver o item (b):

R → = 670 cos ⁡ 60 ° cos ⁡ 20 ° i ^ - sen ⁡ 60 ° j ^ - cos ⁡ 60 ° sen ⁡ 20 ° k ^

+ 291,32 sen ⁡ 36 ° sen ⁡ 48 ° i ^ - cos ⁡ 36 ° j ^ + sen ⁡ 36 ° cos ⁡ 48 ° k ^

Daqui temos que:

R x = 670 cos ⁡ 60 ° cos ⁡ 20 ° + 291,32 sen ⁡ 36 ° sen ⁡ 48 °

R x = 442,05   N

R y = 670 - sen ⁡ 60 ° + 291,32 ( - cos ⁡ 36 ° )

R y = - 815,92   N

R z = 670 - cos ⁡ 60 ° sen ⁡ 20 ° + 291,32 sen ⁡ 36 ° cos ⁡ 48 °

R z = 0   N

Confirmando o resultado de R z esperado.

Finalmente, temos que o módulo da reação R em A é:

R = R x 2 + R y 2 + R z 2

R = 442,05 2 + - 815,92 2 + 0 2

R = 927,97   N

Passo 5

E, finalmente, a direção da resultante R se dá pelos ângulos θ x , θ y e θ z , a partir das seguintes fórmulas:

cos ⁡ θ x = R x R

cos ⁡ θ y = R y R

cos ⁡ θ z = R z R

Substituindo os valores que temos:

cos ⁡ θ x = 442,05 927,97

θ x = cos - 1 ⁡ 442,05 927,97

θ x = 61,55 °

Para θ y :

cos ⁡ θ y = - 815,92 927,97

θ y = cos - 1 ⁡ - 815,92 927,97

θ y = 151,55 °

E para θ z :

cos ⁡ θ z = 0 927,97

θ z = cos - 1 ⁡ 0 927,97

θ z = 90 °

Resposta

(a)

T A D = 291,32   N

(b)

R = 927,97   N

θ x = 61,55 °

θ y = 151,55 °

θ z = 90 °

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →