Enunciado

3.16. Uma linha passa pelos pontos 20   m ,   16   m e - 1   m ,   - 4 m . Determine a distância perpendicular d da linha até a origem O do sistema de coordenadas.

Passo 1

Vamos começar fazendo um desenho do que está acontecendo:

A gente quer determinar essa distância d.

A gente pode imaginar que tem uma força agindo na linha P Q - , e calcular o momento que essa força exerce na origem, ai podemos achar a distância. Parece um pouco estranho mas vai dar certo.

Passo 2

Vamos lá, começamos definindo

F → = F λ P Q →

Sendo que λ P Q → é um versor que aponta na direção P Q - . Vamos definir esse versor

λ P Q ^ = r Q - r P r Q + r P

λ P Q ^ = 21   î + 20   j ^ 20 + 1 2 + 16 + 4 2

λ P Q ^ = 21   î + 20   j ^ 29

Então

F → = F 29 ⋅ 21   î + 20   j ^

E também precisaremos da distância para fazer nosso produto vetorial vamos precisar também de r A →

r A = - 1   î - 4   j ^ m

Passo 3

Agora a gente pode definir o momento da força aplicada em A em relação a origem.

M o = r A × F

E isso vai ser igual a

M O = d ⋅ F

Já que d é perpendicular à F → .

Vamos lá

M O = î j ^ k ^ - 1 - 4 0 21 29 F 20 29 F 0

Por Laplace

M o = 0   î + 0   j ^ + - 20 29 F + 4 21 29 F   k ^

M O = 64 29 F   k ^   N ⋅ m

Como o momento está em uma única direção, esse valor é igual seu módulo, por tanto

64 29 F = d ⋅ F

Olha que coisa boa, a gente pode cortar o F

64 29 = d

Então

d = 2,2   m

Resposta

d = 2,2   m

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