Enunciado

33. O cabo de reboque exerce uma força P = 4   k N na extremidade da lança do guindaste de 20   m de comprimento. Se x = 25   m , determine a posição θ do gancho em A para que essa força crie um momento máximo em relação ao ponto O. Qual é esse momento?

Passo 1

Primeiro uma coisa temos que ter em mente para o momento ser máximo, o ângulo entre OB e BA tem que ser 90 ° , então temos que ajeitar x de forma que isso aconteça.

Uma coisa que devemos fazer é descobrir o seguinte ângulo quando temos o de 90 ° .

O ângulo inferior (vamos chamar de ϕ ) que está marcado é o que queremos saber e que é igual ao superior.

Passo 2

Considerando OB perpendicular à BA temos o que o momento é máximo como foi dito e logo:

M 0 = F d

M 0 = 4   k N ⋅ 20   m = 4000   k N ⋅ 20   m = 80000   N ⋅ m = 80   k N ⋅ m

Mas isso não conseguimos x daí.

Para achar θ devemos notar que como o eixo de rotação tem uma certa altura acima do chão então tanto a componente x tanto a componente y da força tem papeis no valor do momento.

Então o momento total no caso OB perpendicular à BA também pode ser calculado somando os momentos referentes a cada componente da força. Podemos chamar a força da componente x de P x = P cos ⁡ ϕ e a componente y de P y = P   s e n   ϕ . Pode ficar mais claro de ver isso na figura a seguir:

Então pelo princípio dos momentos podemos calcular o momento total, somando o momento em relação a P x que é P x vezes o seu braço de momento perpendicular a ele que aí no caso é 1,5   m com o momento em relação a P y que é P y vezes seu braço de momento perpendicular a ele que é 25 .

Um esclarecimento o braço de momento é a distância do eixo até o ponto de aplicação da força, nesse caso o braço de momento tem duas componentes, uma em x que vale 25 e uma em y que vale 1,5 .

Passo 3

Vamos calcular o momento total mais uma vez, mas dessa nova forma.

Primeiro o mento de P x :

M 0 x = - P x ⋅ 1,5   m

O sinal representa que essa força faz o eixo rodar no sentido horário.

M 0 x = - 4   k N cos ⁡ ϕ ⋅ 1,5   m

Agora o momento de P y :

M 0 y = P y ⋅ 25   m

M 0 y = 4   k N   s e n   ϕ ⋅ 25   m

Logo o momento total é:

M 0 T = M 0 y + M 0 x = 4   k N   s e n   ϕ ⋅ 25   m - 4   k N cos ⁡ ϕ ⋅ 1,5   m

Mas como tínhamos calculado antes, essa expressão acima tem que ser 80   k N ⋅ m

Assim:

4   k N   s e n ϕ   ⋅ 25   m - 4   k N cos ⁡ ϕ ⋅ 1,5   m = 80   k N ⋅ m

⇒ 25 ⋅ s e n   ϕ - 1,5 ⋅ cos ⁡ ϕ = 20

⇒ 5 ⋅ s e n   ϕ - 0,3 ⋅ cos ⁡ ϕ = 4

⇒ ϕ = 56,43 °

Passo 4

Agora que sabemos quanto vale ϕ e sabemos que o ângulo entre OB e BA é igual a 90 ° para o momento ser máximo, então pela propriedade dos triângulos de que a soma dos ângulos internos ser igual 180 ° , temos:

θ + 90 ° + ϕ = 180 °

⇒ θ + 90 ° + 56,43 ° = 180 °

⇒ θ = 33,57 °

Resposta

Assim o θ tem que ser igual 33,57 ° para que o momento seja máximo.

O momento máximo é igual a 8 0   k N ⋅ m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A força de 70N age no final do tubo B . Determine ( a ) o momento dessa força em relação ao ponto A e ( b ) a intensidade e a direção de uma força horizontal, aplicada em C , que produz o mesmo moment
A lança do elevador é estendida até a posição mostrada. Se o operário pesa 800N ( ≈ 80k g ) , determine o momento dessa força em relação à conexão em A .
Sabe-se que é necessária uma força com um momento de 960 N ⋅ m em relação a D para endireitar o mourão CD. Se d=2,8 m, determine a tração que deve ser desenvolvida no cabo do guincho A B para criar o
A força de 300 N é aplicada em A como mostrado na figura. Determine (a) o momento da força de 300 N sobre D, (b) a menor força aplicada em B que cria o mesmo momento em D.
Uma força P de 49 N é aplicada em uma alavanca de câmbio. O momento P sobre B é horário e tem a intensidade de 28N ⋅ m . Determine o valor de α .