Enunciado

37. Resolva o Problema 9.36 para o ponto B.

Passo 1

Primeiro, devemos calcular o momento de polar de inércia da seção transversal. Porém, devemos dividir em dois eixos, o eixo y e o eixo z . Sabemos que para seções retangulares, temos a seguinte equação de momento de polar de inércia:

I = (1)/(12) ( b h^3 )

Onde b é o tamanho da parede paralela ao eixo e h é o tamanho da parede perpendicular ao eixo.

Neste caso, devemos usar o Teorema dos Eixos Paralelos, pois os centroides das peças separadas não estão no mesmo eixo que o centroide da peça total, o qual é dado por:

I_T = I + A d^2

Onde a é a área de um elemento separado e d é a distância do seu centroide com o centroide da peça total.

Mas como o centroide da peça 2 coincide com o centroide da peça total, não será preciso aplicar o teorema dos eixos paralelos para ela:

I_T z = I_P 1 + A_1 d_1^2 + I_P 2 + I_P 3 + A_3 d_3^2

{[[I_P 1 + A_1 d_1^2 = (( 0,2 m ) ( 0,05 m )^3)/(12) + (0,2 m xx 0,05 m) ( 0,125 m )^2],[I_P 2 = (( 0,05 m ) ( 0,2 m )^3)/(12)],[I_P 3 + A_3 d_3^2 = (( 0,2 m ) ( 0,05 m )^3)/(12) + (0,2 m xx 0,05 m) ( 0,125 m )^2]])

I_T z = ( I_P 1 + A_1 d_1^2 ) + ( I_P 2 ) + ( I_P 3 + A_3 d_3^2 )

I_T z tilde= 1,583333 xx 10^(- 4) m^4 + 0,3333 xx 10^(- 4) m^4 + 1,583333 xx 10^(- 4) m^4

I_T z tilde= 3,5 xx 10^(- 4) m^4

Agora, devemos calcular o momento polar de inércia no eixo y . Mas, como o eixo dos centroides das três peças coincidem com o eixo do centroide da peça total, não será necessário o Teorema dos Eixos Paralelos:

I_T y = I_P 1 + I_P 2 + I_P 3

{[[I_P 1 = (( 0,05 m ) ( 0,2 m )^3)/(12)],[I_P 2 = (( 0,2 m ) ( 0,05 m )^3)/(12)],[I_P 3 = (( 0,05 m ) ( 0,2 m )^3)/(12)]])

I_T y tilde= 3,3333 xx 10^(- 5) m^4 + 0,20833 xx 10^(- 5) m^4 + 3,3333 xx 10^(- 5) m^4

I_T y tilde= 6,875 xx 10^(- 5) m^4

Passo 2

Agora, já podemos calcular a tensão no ponto B :

sigma_B = - (N_x)/(A) + (M_z y_B)/(I_z) + (M_y z_B)/(I_y)

sigma_B = (500 xx 10^3 N)/(0,03 m^2) - ((40 xx 10^3 k N * m) (0,15 m))/(3,5 xx 10^(- 4) m^4) - ((30 xx 10^3 k N * m) (0,1 m))/(6,875 xx 10^(- 5) m^4)

sigma_A tilde= 44,11 M P a ( T r a ç ã o )

E em seguida, descobrir a tensão máxima de cisalhamento no ponto B , pela fórmula abaixo:

tau_B = (V Q_B)/(I t)

Só que V = 0 , o que nos deixa com:

tau_B = 0 M P a

Passo 3

Com isso, calcularemos, então, as tensões principais no ponto B :

sigma_1,2 = (sigma_x + sigma_y)/(2) +- sqrt(((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(x y)^2)

sigma_1,2 = (( 44,11 M P a ) + ( 0 M P a ))/(2) +- sqrt((((44,11 M P a) - ( 0 M P a ))/(2))^2 + ( 0 M P a )^2)

sigma_1,2 tilde= 22,055 M P a +- 22,055 M P a

Obtemos desse modo, duas tensões:

sigma_1 = sigma_x tilde= 22,055 M P a + 22,055 M P a tilde= 44,11 M P a

sigma_2 = sigma_y tilde= 22,055 M P a - 22,055 M P a tilde= 0 M P a

Passo 4

Por fim, só nos resta calcular a tensão de cisalhamento máxima no plano tau_m á x no ponto B :

tau_m á x = sqrt(((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(x y)^2)

tau_m á x = sqrt(((( 44,11 M P a ) - ( 0 M P a ))/(2))^2 + ( 0 M P a )^2)

tau_m á x tilde= 22,11 M P a

Resposta

As tensões principais no ponto B são:

sigma_1 = sigma_x tilde= 44,11 M P a

sigma_2 = sigma_y tilde= 0 M P a

E a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto é:

tau_m á x tilde= 22,11 M P a

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