Enunciado

61. Resolva o Problema 9.11 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Da seguinte figura de estado plano de tensão, tiramos que:

σ x = 300   k P a ,   t e n s ã o   d e   t r a ç ã o

σ y = 0   k P a ,   n ã o   h á   n e n h u m a   t e n s ã o   a g i n d o   v e r t i c a l m e n t e  

τ x y = 120   k P a ,   a s   s e t a s   d e   t e n s ã o   c i s a l h a n t e   c o n v e r g e m   p a r a   o   1 °   e   3 °   q u a d r a n t e

Passo 2

Como estamos trabalhando com Círculo de Mohr, a primeira coisa a se fazer é determinar o centro do círculo, que é dado por:

C e n t r o   d o   C í r c u l o   ( C ) = σ m = σ x + σ y 2

Substituindo os valores numéricos correspondentes, chega-se à:

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = 300   k P a + 0   k P a 2

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = 150   k P a

E em seguida, vamos determinar o raio R do nosso círculo, através da fórmula da tensão de cisalhamento máximo:

R = τ m á x i m o = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocamos as variáveis pelos seus respectivos valores numéricos:

R = τ m á x i m o = 300   k P a - 0   k P a 2 2 + ( - 120   k P a ) 2

R ≅ 192,1   k P a

Passo 3

Agora, voltemos até a figura do enunciado. A questão 9.11 nos diz que o nosso elemento está orientado em um ângulo de θ = 60 ° no sentido hórario. Para construir o nosso círculo, como geralmente trabalhamos com o dobro do ângulo em questão, logo iremos realizar tudo tomando como ponto de partida um ângulo de 2 θ = 120 ° .

Vamos então colocar o nosso ângulo de 120 ° debaixo do braço e construir o círculo de Mohr, a seguir:

Pera só um pouco, que ainda não acabou! Para calcular nossas tensões σ x ' ,   σ y ' e τ x ' y '   precisamos do ângulo onde aquele A da figura está, que vamos chamar convenientemente de α . Ah! E antes que alguém pergunte, o ponto A é aquele onde estão concentradas as tensões de estado plano ( σ x = 300   k P a e τ x y = 120   k P a ). Se você reparar bem na figura acima, o ângulo desse ponto com o eixo σ , é dado por:

α = tan - 1 ⁡ 120   k P a 300   k P a - 150   k P a

α ≅ 38,66 °

Agora que já obtivemos o nosso ângulo α e temos o ângulo de 120 ° , falta apenas descobrir apenas o ângulo que iremos utilizar para calcular as novas tensões no elemento orientado. Chamaremos ele de φ , e se você olhar bem a figura acima do círculo, vai ver que podemos estabelecer a seguinte relação

φ + α + 120 ° = 180 °

φ = 180 ° - α - 120 °

Logo, dado que temos o valor de α chegamos à:

φ ≅ 180 ° - 38,66 ° - 120 °

φ ≅ 21,34 °

Voltemos ao que interessa! Ao analisar o círculo, por relação trigonométrica, tiramos que, como o segmento C A foi rotacionado em sentido horário, onde P é a tensão em x ' e Q , a tensão em y ' , chegamos à conclusão de que as tensões são dadas por:

P o n t o   Q → σ x ' = σ m - R cos ⁡ φ

P o n t o   P → σ y ' = σ m + R cos ⁡ φ

τ x ' y ' = R sen ⁡ φ

E como temos os valores numéricos de cada variável:

φ ≅ 21,34 °

R ≅ 192,1   k P a

σ m = 150   k P a

Susbstituímos nas duas fórmulas anteriores das tensões:

σ x ' ≅ 150   k P a + ( 192,1   k P a ) cos ⁡ 21,34 °

σ y ' ≅ 150   k P a - ( 192,1   k P a ) cos ⁡ 21,34 °

τ x ' y ' ≅ ( 40,311   M P a ) sen ⁡ 21,34 °

Alcançamos nosso resultado:

σ x ' ≅ - 0,0289   M P a

σ y ' ≅ 0,329   M P a

τ x ' y ' ≅ 0,0699   M P a

Resposta

σ x ' ≅ - 0,0289   M P a

σ y ' ≅ 0,329   M P a

τ x ' y ' ≅ 0,0699   M P a

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