Enunciado

37. A treliça mostrada na figura consiste em seis elementos e é sustentada por uma rótula em B , uma pequena haste de conexão em C e duas pequenas hastes de conexão em D . Determine a força em cada um dos elementos para P = 0 e Q = ( 2968   N ) i

Passo 1

a) Bom! Primeiramente vamos fazer o esboço de todas as forças presentes no nosso sistema, o chamado diagrama de corpo livre:

Olhando essa belezinha de figura, de cara já podemos tirar algumas relações:

B x = D x

B y = D y

E como as seguintes relações precisam ser satisfeitas:

∑ F x = 0

B x + D x + 2968 = 0

D x + D x = - 2968

D x = - 1484   N

B x = - 1484   N

∑ F z = 0

B z = 0

Já fomos capazes de obter algumas relações interessantes. No eixo y , a coisa vai ser um pouco diferentes, devido a presença de muitas forças. Por isso apliquemos o somatório dos momentos em relação ao segmento c z ' :

⤹ + ∑ M c z ' = 0

- 2 B y ⋅ 2,8   m - 2968   N ⋅ 4,8   m = 0

B y = - 2968   N ⋅ 4,8   m 5,6   m

B y = - 2544   N

Isso nos fornece que:

B → = - ( 1484   N ) i ^ - ( 2544   N ) j ^

Passo 2

Agora, faremos o diagrama de corpo livre para o ponto A do sistema:

Antes de mais nada, vamos definir algumas coordenadas de interesse para nossa análises. São as coordenadadas dos pontos A , B , C e D :

A = 0 ; 4,8 ; 0   m B = - 0,8 ; 0 ; 2,1   m C = 2,0 ; 0 ; 0   m D = - 0,8 ; 0 ; - 2,1   m

Fizemos isso, para obter as forças presentes no ponto A , feitas em nossa análise são obtidas através das seguintes relações:

F → A B = F A B ⋅ A B → A B

F → A D = F A D ⋅ A D → A D

F → A C = F A C ⋅ A C → A C

Onde para encontrar cada vetor posição, por exemplo no caso de A B → , basta subtrair as coordenadas de B pela de A . Já no caso de A C → , basta subtrair as coordenadas de C pela de A e o mesmo ocorre para A D → . Chega de papo e partiu fazer os cálculos:

F → A B = F A B ⋅ - 0,8 i ^ - 4,8 j ^ + 2,1 k ^ ( - 0,8 ) 2 + ( - 4,8 ) 2 + ( 2,1 ) 2

F → A D = F A D ⋅ 2,0 i ^ - 4,8 j ^ ( 2,0 ) 2 + ( - 4,8 ) 2

F → A C = F A C ⋅ - 0,8 i ^ - 4,8 j ^ - 2,1 k ^ ( - 0,8 ) 2 + ( - 4,8 ) 2 + ( - 2,1 ) 2

F → A B = F A B ⋅ - 0,8 i ^ - 4,8 j ^ + 2,1 k ^ 5,30

F → A C = F A C ⋅ 2,0 i ^ - 4,8 j ^ 5,20

F → A D = F A D ⋅ - 0,8 i ^ - 4,8 j ^ - 2,1 k ^ 5,30

E como o somatório vetorial das forças precisa ser zero, então temos que:

F → A B + F → A D + F → A C + 2968   N i ^ = 0

F → A B + F → A D + F → A C = - 2968   N i ^

Passo 3

E como já temos mais ou menos uma idéia da aparência das forças no ponto A do nosso sisteminha e sabemos que o somatório vetorial delas resulta em zero, vamos fazer o somatório separado das forças em cada componente cartesiano, i ^ , j ^ e k ^ ; já que ele necessariamente também tem que dar zero. Vamos lá:

Primeiro para a componente i ^ :

- 0,8 F A B i ^ 5,30 + 2,0 F A C i ^ 5,20 - 0,8 F A D i ^ 5,30 + 2968   N i ^ = 0

- 0,8 F A B 5,30 + 2,0 F A C 5,20 - 0,8 F A D 5,30 = - 2968

0,8 ( F A B + F A D ) 5,30 = 2,0 F A C 5,20 + 2968   ( E q u a ç ã o   I )

Segundo para a componente j ^ :

- 4,8 F A B i ^ 5,30 - 4,8 F A C i ^ 5,20 - 4,8 F A D i ^ 5,30 = 0

- 4,8 F A B 5,30 - 4,8 F A C 5,20 - 4,8 F A D 5,30 j ^ = 0

- 4,8 F A B + F A D 5,30 - 4,8 F A C 5,20 = 0   ( E q u a ç ã o   I I )

Terceiro para a componente k ^ :

2,1 F A B k ^ 5,30 - 2,1 F A D k ^ 5,30 = 0

2,1 F A B 5,30 - 2,1 F A D 5,30 k ^ = 0

F A B = F A D     ( E q u a ç ã o   I I I )

Como obtemos na equação I I I , que F A B = F A D ; vamos tratar de usar essa relação em ( I I ) :

- 4,8 F A B + F A B 5,30 - 4,8 F A C 5,20 = 0

- 9,6 ( F A B ) 5,30 = 4,8 F A C 5,20

F A C = - 9,6 ⋅ 5,20 5,30 ⋅ 4,8 F A B

F A C = - 1,962 F A B

Pois é!!! Agora, com essa nova relação; vamos substituir o que temos em ( I ) :

0,8 ( F A B + F A D ) 5,30 = 2,0 F A C 5,20 + 2968      

1,6 ( F A B ) 5,30 = 2,0 ( - 1,9623 F A B ) 5,20 + 2968      

1,0565 F A B = 2968   N

F A B = 2968   N 1,0565

F A B ≅ 2810   N

E não vamos nos esquecer que:

F A C = - 1,962 F A B

F A C ≅ - 1,962 ⋅ ( 2810   N )  

F A C ≅ - 5512   N

F A B = F A D

F A D ≅ 2810   N

Passo 4

Agora, vamos fazer a análise do diagrama de corpo livre para o ponto B :

O somatório vetorial das forças disso precisa ser zero, então temos que:

F → A B + F → B D + F → B C - 2544 j ^ - ( 1484   N ) i ^ = 0

F → A B + F → B D + F → B C = 2544 j ^ + ( 1484   N ) i ^

E novamente repetiremos o mesmos raciocínio dos P a s s o s   2 e 3 :

F → A B = 2810   N ⋅ - 0,8 i ^ - 4,8 j ^ + 2,1 k ^ 5,30

F → B C = F B C ⋅ 2,8 i ^ - 2,1 k ^ 2,8 2 + - 2,1 2

F → B D = - F B D k ^

F → A B = 424   N i ^ + 2544   N j ^ - ( 1113   N ) k ^

F → B C = F B C ( 0,8 i ^ - 0,6 k ^ )

F → B D = - F B D k ^

Separando as componentes cartesianas logo em seguida, obtemos os seguintes reusltados:

Para i ^ :

424 + 0,8 F B C = 1484   N

F B C = 1484 - 424 0,8   N

F B C = 1325   N

Para k ^ :

- 0,6 F B C - 1113   N - F B D = 0

F B D = - 0,6 F B C - 1113   N

F B D = - 0,6 ⋅ 1325   N - 1113   N

F B D = - 1908   N

Teríamos que obter a força F C D também. Só que para nossa imensa felicidade essa força é simétrica à força F B C , o que implica dizer que elas são iguais, logo temos que F C D = 1325   N .

Resposta

F A B = 2810   N     ( T r a ç ã o )

F A C ≅ 5512   N     ( C o m p r e s s ã o )

F A D ≅ 2810   N   ( T r a ç ã o )

F B C = 1325   N     ( T r a ç ã o )

F B D = 1908   N   ( C o m p r e s s ã o )

F C D = 1325   N     ( T r a ç ã o )

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61. Determine a força nos elementos A F e E J da treliça mostrada na figura quando P = Q = 1,2k N . (Dica: use a seção a a )
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