Enunciado

39. A treliça mostrada na figura consiste em nove elementos e é sustentada por uma rótula em B , uma pequena haste de conexão em C e por duas pequenas hastes em D . ( a ) Verifique se essa treliça é uma treliça simples, se é completamente vinculada e se as reações em seus apoios são estaticamente determinadas. ( b ) Determine a força em cada elemento para P = - 1200   N j e Q = 0 .

Passo 1

Para saber se uma treliça é simples, temos que ver se a treliça que temos pode ser construída, se adicionarmos dois elementos novos, e se esses elementos forem interligados por um novo nó e ligados a nós já existentes, se ela puder ser construída assim, ela será uma treliça simples.

Uma condição que temos para saber se a treliça é completamente vinculada e se as reações em seus apoios são estaticamente determinadas, é seguinte equação ser satisfeita:

m = 3 n - 6

Onde m é o número de membros da treliça e n é o número de nós.

Pelo o que o enunciado nos falou que em B tem uma rótula, então temos 3 forças perpendiculares, em C como só temos uma haste então só temos uma força na direção y e em D temos duas hastes logo temos uma força direção y e na direção z .

Vamos utilizar a equação de equilíbrio referente ao momento em relação ao ponto B , pois assim as forças de reação de B não contribuem para o cálculo do momento.

Então vamos analisar a equação de equilíbrio referente a força em relação ao sistema inteiro.

Tendo feito isso tudo podemos analisar cada ponto da treliça para achar as forças em cada membro.

Passo 2

Então vamos ver se a treliça é simples, vamos considerar o membro B A C e vamos partir dele para a montagem da nossa treliça.

A parti disso podemos adicionar os membros C E ,   A E e B E , se juntando em E . Agora vamos adicionar os membros C D ,   E D e A D , se juntando em D . Então conseguimos construir nossa treliça da forma como foi descrita no passo 1 , logo nossa treliça é simples.

Agora através da fórmula mencionada no passo 1 vamos verificar se a treliça é completamente vinculada e se as reações em seus apoios são estaticamente determinadas.

No nosso caso, temos n = 5 e m = 9 , então:

9 = 3 5 - 6

⇒ 9 = 9

O que é verdadeiro, logo temos essas duas características verificadas na nossa treliça.

Passo 3

Agora vamos analisar a equação de equilíbrio referente ao momento em relação a B .

∑ M B → = 0

⇒ 1,8 i + 0 j + 0 k × 0 i + C j + 0 k + 1,8 i + 0 j - 3 k × 0 i + D y j + D z k +

+ 0,6 i + 0 j - 0,75 k × 0 i - 1200 j + 0 k = 0

Então temos que:

1,8 C k + 3 D y i - 1,8 D z j + 1,8 D y k - 900 i - 720 k = 0

⇒ 3 D y - 900 i + - 1,8 D z j + 1,8 C + 1,8 D y - 720 k = 0

Ficamos com:

3 D y - 900 = 0

⇒ D y = 300   N

- 1,8 D z = 0

⇒ D z = 0

1,8 C + 1,8 D y - 720 = 0

⇒ 1,8 C + 540 - 720 = 0

⇒ C = 100   N

Passo 4

Então vamos analisar a equação de equilíbrio referente a força em relação ao sistema inteiro.

∑ F → = 0

B → + D → + C → + ( 0 i - 1200 j + 0 k ) = 0

⇒ B → + ( 0 i + 300 j + 0 k ) + ( 0 i + 100 j + 0 k ) + ( 0 i - 1200 j + 0 k ) = 0

⇒ B → + 0 i - 800 j + 0 k = 0

⇒ B → = 0 i + 800 j + 0 k

Passo 5

Agora vamos calcular a força de cada membro da treliça usando o método dos nós, vamos começar com o ponto B .

Analisando a equação de equilíbrio referente a força.

∑ F → = 0

F B A → + F B C → + F B E → + ( 0 i + 800 j + 0 k ) = 0

Escrevendo as forças em sua forma vetorial:

F B A → = F B A B A → B A = 0,6 3,15 F B A i + 3 3,15 F B A j - 0,75 3,15 F B A k

F B C → = ( F B C i + 0 j + 0 k )

F B E → = 0 i + 0 j - F B E k

Substituindo essas forças na equação mais acima, temos:

0,6 3,15 F B A i + 3 3,15 F B A j - 0,75 3,15 F B A k + F B C i + 0 j + 0 k + 0 i + 0 j - F B E k +

+ ( 0 i + 800 j + 0 k ) = 0

⇒ 0,6 3,15 F B A + F B C i + 3 3,15 F B A + 800 j + - 0,75 3,15 F B A - F B E k = 0

Logo, temos:

0,6 3,15 F B A + F B C = 0

3 3,15 F B A + 800 = 0

- 0,75 3,15 F B A - F B E = 0

Da segunda equação, ficamos com:

3 3,15 F B A + 800 = 0

⇒ F B A = - 840   N

Substituindo esse resultado nas outras, temos:

F B C = 160   N

F B E = 200   N

Passo 6

Agora vamos analisar o ponto C .

Analisando a equação de equilíbrio referente a força.

∑ F → = 0

F C A → + F C B → + F C D → + F C E → + ( 0 i + 1 00 j + 0 k ) = 0

Escrevendo as forças em sua forma vetorial:

F C A → = F C A C A → C A = - 1,2 3 , 3 1 7 F C A i + 3 3 , 3 1 7 F C A j - 0,75 3 , 3 1 7 F C A k

F C B → = ( - 160 i + 0 j + 0 k )

F C D → = 0 i + 0 j - F C D k

F C E → = F C E C E → C E = - 1 , 8 3 , 498 F C E i + 0 j - 3 3 , 498 F C E k

Substituindo essas forças na equação mais acima, temos:

- 1,2 3,317 F C A i + 3 3,317 F C A j - 0,75 3,317 F C A k + - 160 i + 0 j + 0 k + 0 i + 0 j - F C D k +

+ - 1,8 3,498 F C E i + 0 j - 3 3,498 F C E k + ( 0 i + 100 j + 0 k ) = 0

⇒ - 1,2 3,317 F C A - 160 - 1,8 3,498 F C E i + 3 3,317 F C A + 100 j +

+ - 0,75 3,317 F C A - F C D - 3 3,498 F C E k = 0

Logo, temos:

- 1,2 3,317 F C A - 160 - 1,8 3,498 F C E = 0

3 3,317 F C A + 100 = 0

- 0,75 3,317 F C A - F C D - 3 3,498 F C E = 0

Da segunda equação, ficamos com:

3 3,317 F C A + 100 = 0

⇒ F C A = - 110,57   N

Substituindo esse resultado nas outras, temos:

F C E = - 233,2   N

F C D = 225   N

Passo 7

Agora vamos analisar o ponto D .

Analisando a equação de equilíbrio referente a força.

∑ F → = 0

F D A → + F D C → + F D E → + ( 0 i + 3 00 j + 0 k ) = 0

Escrevendo as forças em sua forma vetorial:

F D A → = F D A D A → D A = - 1,2 3 , 937 F D A i + 3 3 , 937 F D A j + 2,25 3 , 937 F D A k

F D C → = ( 0 i + 0 j + 225 k )

F D E → = - F D E i + 0 j + 0 k

Substituindo essas forças na equação mais acima, temos:

- 1,2 3,937 F D A i + 3 3,937 F D A j + 2,25 3,937 F D A k + 0 i + 0 j + 225 k + - F D E i + 0 j + 0 k +

+ ( 0 i + 3 00 j + 0 k ) = 0

⇒ - 1,2 3,937 F D A - F D E i + 3 3,937 F D A + 3 00 j + 2,25 3,937 F D A + 225 k = 0

Logo, temos:

- 1,2 3,937 F D A - F D E = 0

3 3,937 F D A + 300 = 0

2,25 3,937 F D A + 225 = 0

Da segunda equação, ficamos com:

3 3,937 F D A + 300 = 0

⇒ F D A = - 393,7   N

Substituindo esse resultado nas outras, temos:

F D E = 120   N

Resposta

( a )

A nossa treliça é simples, é completamente vinculada e as reações em seus apoios são estaticamente determinadas.

b

F B A = - 840   N

F B C = 160   N

F B E = 200   N

F C A = - 110,57   N

F C E = - 233,2   N

F C D = 225   N

F D A = - 393,7   N

F D E = 120   N

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