Enunciado

40. Resolva o Problema 6.39 para P = 0 e Q = (- 900 N) k

Passo 1

Para saber se uma treliça é simples, temos que ver se a treliça que temos pode ser construída, se adicionarmos dois elementos novos, e se esses elementos forem interligados por um novo nó e ligados a nós já existentes, se ela puder ser construída assim, ela será uma treliça simples.

Uma condição que temos para saber se a treliça é completamente vinculada e se as reações em seus apoios são estaticamente determinadas, é seguinte equação ser satisfeita:

m = 3 n - 6

Onde m é o número de membros da treliça e n é o número de nós.

Pelo o que o enunciado nos falou que em B tem uma rótula, então temos 3 forças perpendiculares, em C como só temos uma haste então só temos uma força na direção y e em D temos duas hastes logo temos uma força direção y e na direção z .

Vamos utilizar a equação de equilíbrio referente ao momento em relação ao ponto B , pois assim as forças de reação de B não contribuem para o cálculo do momento.

Então vamos analisar a equação de equilíbrio referente a força em relação ao sistema inteiro.

Tendo feito isso tudo podemos analisar cada ponto da treliça para achar as forças em cada.

Passo 2

Então vamos ver se a treliça é simples, vamos considerar o membro B A C e vamos partir dele para a montagem da nossa treliça.

A parti disso podemos adicionar os membros C E , A E e B E , se juntando em E . Agora vamos adicionar os membros C D , E D e A D , se juntando em D . Então conseguimos construir nossa treliça da forma como foi descrita no passo 1 , logo nossa treliça é simples.

Agora através da fórmula mencionada no passo 1 vamos verificar se a treliça é completamente vinculada e se as reações em seus apoios são estaticamente determinadas.

No nosso caso, temos n = 5 e m = 9 , então:

9 = 3 (5) - 6

=> 9 = 9

O que é verdadeiro, logo temos essas duas características verificadas na nossa treliça.

Passo 3

Agora vamos analisar a equação de equilíbrio referente ao momento em relação a B .

sum vec M_B = 0

=> (1,8 i + 0 j + 0 k) xx (0 i + C j + 0 k) + (1,8 i + 0 j - 3 k) xx (0 i + D_y j + D_z k) +

+ (0,6 i + 3 j - 0,75 k) xx (0 i + 0 j - 90 0 k) = 0

Então temos que:

1,8 C k + 3 D_y i - 1,8 D_z j + 1,8 D_y k - 2700 i + 54 0 j = 0

=> (3 D_y - 2700) i + (- 1,8 D_z + 540) j + (1,8 C + 1,8 D_y) k = 0

Ficamos com:

3 D_y - 2700 = 0

=> D_y = 90 0

- 1,8 D_z + 540 = 0

=> D_z = 30 0 N

1,8 C + 1,8 D_y = 0

=> 1,8 C + 162 0 = 0

=> C = - 900 N

Passo 4

Então vamos analisar a equação de equilíbrio referente a força em relação ao sistema inteiro.

sum vec F = 0

vec B + vec D + vec C + ( 0 i + 0 j - 90 0 k ) = 0

=> vec B + ( 0 i + 90 0 j + 30 0 k ) + ( 0 i - 9 00 j + 0 k ) + ( 0 i + 0 j - 900 k ) = 0

=> vec B + (0 i + 0 j - 60 0 k) = 0

=> vec B = (0 i + 0 j + 60 0 k)

Passo 5

Agora vamos calcular a força de cada membro da treliça usando o método dos nós, vamos começar com o ponto B .

Analisando a equação de equilíbrio referente a força.

sum vec F = 0

vec F_B A + vec F_B C + vec F_B E + ( 0 i + 0 j + 600 k ) = 0

Escrevendo as forças em sua forma vetorial:

vec F_B A = F_B A (vec B A)/(|B A|) = ((0,6)/(3,15) F_B A i + (3)/(3,15) F_B A j - (0,75)/(3,15) F_B A k)

vec F_B C = ( F_B C i + 0 j + 0 k )

vec F_B E = (0 i + 0 j - F_B E k)

Substituindo essas forças na equação mais acima, temos:

((0,6)/(3,15) F_B A i + (3)/(3,15) F_B A j - (0,75)/(3,15) F_B A k) + (F_B C i + 0 j + 0 k) + (0 i + 0 j - F_B E k) +

+ ( 0 i + 0 j + 600 k ) = 0

=> ((0,6)/(3,15) F_B A + F_B C) i + ((3)/(3,15) F_B A + 0) j + (- (0,75)/(3,15) F_B A - F_B E + 600) k = 0

Logo, temos:

(0,6)/(3,15) F_B A + F_B C = 0

(3)/(3,15) F_B A = 0

- (0,75)/(3,15) F_B A - F_B E + 600 = 0

Da segunda equação, ficamos com:

(3)/(3,15) F_B A = 0

=> F_B A = 0 N

Substituindo esse resultado nas outras, temos:

F_B C = 0 N

F_B E = 6 00 N

Passo 6

Agora vamos analisar o ponto C .

Analisando a equação de equilíbrio referente a força.

sum vec F = 0

vec F_C A + vec F_C B + vec F_C D + vec F_C E + ( 0 i - 9 00 j + 0 k ) = 0

Escrevendo as forças em sua forma vetorial:

vec F_C A = F_C A (vec C A)/(|C A|) = ((- 1,2)/(3,317) F_C A i + (3)/(3,317) F_C A j - (0,75)/(3,317) F_C A k)

vec F_C B = ( 0 i + 0 j + 0 k )

vec F_C D = (0 i + 0 j - F_C D k)

vec F_C E = F_C E (vec C E)/(|C E|) = (- (1,8)/(3,498) F_C E i + 0 j - (3)/(3,498) F_C E k)

Substituindo essas forças na equação mais acima, temos:

((- 1,2)/(3,317) F_C A i + (3)/(3,317) F_C A j - (0,75)/(3,317) F_C A k) + (0 i + 0 j + 0 k) + (0 i + 0 j - F_C D k) +

+ (- (1,8)/(3,498) F_C E i + 0 j - (3)/(3,498) F_C E k) + ( 0 i - 9 00 j + 0 k ) = 0

=> ((- 1,2)/(3,317) F_C A - (1,8)/(3,498) F_C E) i + ((3)/(3,317) F_C A - 9 00) j +

+ (- (0,75)/(3,317) F_C A - F_C D - (3)/(3,498) F_C E) k = 0

Logo, temos:

(- 1,2)/(3,317) F_C A - (1,8)/(3,498) F_C E = 0

(3)/(3,317) F_C A - 9 00 = 0

- (0,75)/(3,317) F_C A - F_C D - (3)/(3,498) F_C E = 0

Da segunda equação, ficamos com:

(3)/(3,317) F_C A - 9 00 = 0

=> F_C A = 995,1 N

Substituindo esse resultado nas outras, temos:

F_C E = - 699,6 N

F_C D = 37 5 N

Passo 7

Agora vamos analisar o ponto D .

Analisando a equação de equilíbrio referente a força.

sum vec F = 0

vec F_D A + vec F_D C + vec F_D E + ( 0 i + 900 j + 30 0 k ) = 0

Escrevendo as forças em sua forma vetorial:

vec F_D A = F_D A (vec D A)/(|D A|) = (- (1,2)/(3,937) F_D A i + (3)/(3,937) F_D A j + (2,25)/(3,937) F_D A k)

vec F_D C = ( 0 i + 0 j + 37 5 k )

vec F_D E = (- F_D E i + 0 j + 0 k)

Substituindo essas forças na equação mais acima, temos:

(- (1,2)/(3,937) F_D A i + (3)/(3,937) F_D A j + (2,25)/(3,937) F_D A k) + (0 i + 0 j + 37 5 k) + (- F_D E i + 0 j + 0 k) +

+ ( 0 i + 90 0 j + 30 0 k ) = 0

=> (- (1,2)/(3,937) F_D A - F_D E) i + ((3)/(3,937) F_D A + 900) j + ((2,25)/(3,937) F_D A + 37 5 + 300) k = 0

Logo, temos:

- (1,2)/(3,937) F_D A - F_D E = 0

(3)/(3,937) F_D A + 9 00 = 0

(2,25)/(3,937) F_D A + 375 + 300 = 0

Da segunda equação, ficamos com:

(3)/(3,937) F_D A + 9 00 = 0

=> F_D A = - 1019,1 N

Substituindo esse resultado nas outras, temos:

F_D E = 310,62 N

Resposta

( a )

A nossa treliça é simples, é completamente vinculada e as reações em seus apoios são estaticamente determinadas.

(b)

F_B A = 0 N

F_B C = 0 N

F_B E = 6 00 N

F_C A = 995,1 N

F_C E = - 699,6 N

F_C D = 37 5 N

F_D A = - 1019,1 N

F_D E = 310,62 N

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