Enunciado

4.104. A mesa mostrada na figura pesa 120 N e tem um diâmetro de 1,2 m. É suportada por três pernas igualmente distribuídas nas extremidades. A carga vertical P de intensidade 400 N é aplicada no topo da mesa em D. Determine valor máximo de a para a mesa não tombar. Mostre, num esboço, a área da mesa sobre a qual P possa seguir sem tombar a mesa.

Passo 1

Vamos fazer um desenho com os pontos importantes da imagem

Bem, vamos determinar esse θ . Primeira coisa que precisamos saber é que dentro do circulo temos 360 ° , como ele esta divido em três segmentos, entre um segmento e outro há 120 ° . Então entre o segmento de C e B há 120 ° , mas entre C e aquela linha mais fininha que colocamos acima de B há 90 ° , logo θ = 120 ° - 90 ° = 30 ° .

Agora podemos determinar b .

b = r s i n   θ

Como diâmetro é 1,2   m o raio é 0,6   m .

b = 0,6 ⋅ sin ⁡ 30 ° = 0,3   m

Passo 2

Como a mesa está parada, seu momento total é 0. Vamos calcular isso para o eixo A B -

M A B = x 1 C + x 2 P - x 3 W = 0

Esse W é a força peso que está agindo no centro da mesa.

M A B = b + r C + a - b P - b W = 0

Substituindo os valores

0 , 3 + 0,6 C + a - 0 , 3 400 - 0 , 3 ⋅ 120 = 0

Então

0,9 C + 400 a - 120 - 36 = 0

Vamos deixar C em função de a

C = 156 - 400 a 0,9

Passo 3

Bem, já que a mesa está em contato com o chão C ≥ 0 , então

156 - 400 a 0,9 ≥ 0

Agora a gente pode isolar a

156 - 400 a ≥ 0

400 a ≤ 156

a ≤ 156 400

a ≤ 0 , 4 m

Passo 4

Beleza, agora temos todas as forças de reação em função de a , então podemos resolver o item (a), que diz que a = 250   m m .

A = 250 ⋅ 100 750 + 250 = 25   N

B = C = 375 ⋅ 100 750 + 250 = 37,5   N

Passo 5

Agora só falta desenhar. As condições que temos é que a ≤ 0,4   m , e a força P deve estar somente dentro das limitações perpendiculares geradas pelas pernas para a mesa não virar.

A linha vermelha representa a ≤ 0,4   m .

A linha azul são as limitações geradas pelas pernas.

A área é Verde é a área que a força pode agir.

Resposta

a ≤ 0,4 m

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