Enunciado

54. Durante a aplicação da froça F na alavanca da válvula mostrada na figura, os seus momentos sobre os eixos x e z são, respectivamente M x = - 104   N ⋅ m e M z = - 109   N ⋅ m . Para d = 0,7   m , determine o momento M y de F sobre o eixo y .

Passo 1

Bom! Antes de mais nada, vamos definir a expressão de momento em relação a origem como sendo:

∑ M → O = r → A / 0 × F → = M O

Em seguida, a segunda coisa que temos que fazer é determinar a distância O A → em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ ; afinal esse segmento é o vetor posição r → A / 0 . Para isso, basta observar a figura do enunciado. O enunciado nos diz que d = 0,7   m = 700   m m . Veremos que o ponto A está nas coordenadas ( - 100 ; 280 ; - 700 ) em milímetros e o ponto   O , que é a nossa origem, encontra-se nas coordenadas ( 0 ; 0 ; 0 ) . Com isso, para achar O A → basta fazer a diferença entre as coordenadas de A e as coordenadas de O :

  O A → = - 100 - 0 i ^ + 280 - 0 j ^ + ( - 700 - 0 ) k ^

O A → = - 100 i ^ + 280 j ^ - 700 k ^   m m

Passo 2

Achada o nosso vetor O A → , vem aí a parte mais difícil. Olha só a figura, mais uma vez:

A força F faz um ângulo θ com o plano horizontal e depois um ângulo   Փ com aquela retazinha que está na figura. Isso quer dizer que teremos que decompor F duas vezes para encontrar as coordenadas em termos de i ^ , j ^   e k ^ . Façamos isso:

F → = ( Fcos ⁡ θ cos ⁡ Փ ) i ^ - ( F sen ⁡ θ ) j ^   + ( Fcos ⁡ θ sen ⁡ Փ ) k ^

E como F = 300   N :

F → = ( 300 cos ⁡ θ cos ⁡ Փ ) i ^ - ( 300 sen ⁡ θ ) j ^   + ( 300 cos ⁡ θ sen ⁡ Փ ) k ^

Passo 3

A questão já nos fornece os momentos em relação aos eixos x e z provenientes da força exercida F . Ora bolas; tudo que temos que fazer agora é relacionar esses momento já fornecidos com a expressão geral do momento que queremos encontrar, especificamente para os eixos x e z .

Apliquemos a definição de momento:

∑ M → O = r → A / 0 × F → = M O

Onde temos que:

r → A / O = O A → = - 100 i ^ + 280 j ^ - 700 k ^   m m

r → A / O = O A → = - 0,100 i ^ + 0,280 j ^ - 0,700 k ^   m

F → = ( 300 cos ⁡ θ cos ⁡ Փ ) i ^ - ( 300 sen ⁡ θ ) j ^   + ( 300 cos ⁡ θ sen ⁡ Փ ) k ^

Vamos então, fazer o produto vetorial usando o determinante matricial:

M → = r → A / O × F →

M → = det ⁡ i ^ j ^ k ^ x A y A z A F x F y F z

M → = det ⁡ i ^ j ^ k ^ - 0,100 0,280 - 0,001 d 271,9 cos ⁡ Փ - 126,8 271,9 sen ⁡ Փ

M → = ⁡ i ^ j ^ k ^ - 0,100 0,280 - 0,700 300 cos ⁡ θ cos ⁡ Փ - 300 sen ⁡ θ   300 cos ⁡ θ sen ⁡ Փ       i ^ j ^ - 0,100 0,280 300 cos ⁡ θ cos ⁡ Փ - 300 sen ⁡ θ        

M → = 84 cos ⁡ θ s en ⁡ Փ i ^ - 210 cos ⁡ θ cos ⁡ Փ j ^ + 30 sen ⁡ θ   k ^ - 76,13 cos ⁡ Փ k ^ - 0,127 d i ^ + 27,19 sen ⁡ Փ j ^   N ⋅ m

E disso, tiramos que:

M x = 84 cos ⁡ θ sen ⁡ Փ - 210 sen ⁡ θ   i ^       N ⋅ m

M y = 30 cos ⁡ θ sen ⁡ Փ - 210 cos ⁡ θ cos ⁡ Փ j ^     N ⋅ m

M z = ( 30 sen ⁡ θ - 84 cos ⁡ θ cos ⁡ Փ ) k ^     N ⋅ m

E como sabemos que M x = - 104   N ⋅ m , e M z = - 109   N ⋅ m , vamos tratar de determinar se podemos tirar alguma relação entre Փ e θ .

Utilizaremos primeiro M z :

M z = ( 30 sen ⁡ θ - 84 cos ⁡ θ cos ⁡ Փ ) k ^     N ⋅ m

- 109   N ⋅ m = 30 sen ⁡ θ - 84 cos ⁡ θ cos ⁡ Փ   N ⋅ m

- 109 - 30 sen ⁡ θ = - 84 cos ⁡ θ cos ⁡ Փ

- 84 cos ⁡ θ cos ⁡ Փ = - 109 - 30 sen ⁡ θ

cos ⁡ θ cos ⁡ Փ = 109 + 30 sen ⁡ θ 84

E depois, trabalhando com M x :

M x = 84 cos ⁡ θ sen ⁡ Փ - 210 sen ⁡ θ   i ^       N ⋅ m

- 104   N ⋅ m = 84 cos ⁡ θ sen ⁡ Փ - 210 sen ⁡ θ   i ^       N ⋅ m

- 104   = 84 cos ⁡ θ sen ⁡ Փ - 210 sen ⁡ θ  

- 104 + 210 sen ⁡ θ   = 84 cos ⁡ θ sen ⁡ Փ

84 cos ⁡ θ sen ⁡ Փ = 210 sen ⁡ θ   - 84

cos ⁡ θ sen ⁡ Փ = 210 sen ⁡ θ   - 84 84

Agora, vamos substituir essa relações anteriores na fórmula do M y :

M y = 30 cos ⁡ θ sen ⁡ Փ - 210 cos ⁡ θ cos ⁡ Փ j ^     N ⋅ m

M y = 30 210 sen ⁡ θ   - 84 84 - 210 109 + 30 sen ⁡ θ 84 j ^     N ⋅ m

M y = 630 0 sen ⁡ θ   - 2520 - 22890 - 6300 sen ⁡ θ   84 j ^     N ⋅ m

M y = - 302,5 j ^   N ⋅ m

Resposta

M y = - 302,5 j ^     N ⋅ m

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