Enunciado

57. A placa triangular A B C é sustentada por juntas rotuladas em B e D e mantida na posição mostrada pelos cabos A E e C F . Se a força exercida pelo cabo A E em A é de 55   N , determine o momento dessa força em relação a linha que une os pontos D e B .

Passo 1

Bom! Antes de mais nada, vamos definir a expressão de momento em relação a A D como sendo:

∑ M → D B = λ D B ⋅ ( r → A / D × T → A E ) = M D B

A primeira coisa é definir cada termo no seu quadrado. Olha só!!! Esse λ D B é definido a partir da seguinte relação:

λ D B = D B → D B

Em seguida, vamos determinar a distância D B → em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ . Para fazer isso, basta observar a figura do enunciado. Veremos que o ponto D está nas coordenadas ( 0 ; 0,70 ; 0 ) em metros e o ponto   B , encontra-se nas coordenadas ( 1,20 ; 0,35 ; 0 ) . Com isso, para achar A B → basta fazer a diferença entre as coordenadas de B e as coordenadas de A :

  D B → = 1,2 - 0 i ^ + 0,35 - 0,70 j ^ + ( 0 - 0 ) k ^

D B → = 1,2 i ^ - 0,35 j ^ + 0 k ^   m

E o valor de D B é dado por:

D B = ( 1,2 ) 2 + ( - 0,35 ) 2 + ( 0 ) 2

D B = 1,25

Logo, já podemos obter λ D B :

λ D B = 1,2 i ^ - 0,35 j ^ + 0 k ^ 1,25

λ D B = 0,96 i ^ - 0,28 j ^

Depois continuemos à caça. O próximo passo é achar o vetor posição r → A / D , que é dado pelo vetor D A → :

r → A / D = D A → = - 0,1 j ^ + 0,2 k ^   m

Passo 2

Achada o nosso vetor r → A / D e o valor de λ D B , falta apenas a força. Por isso vamos olhar a figura novamente; afinal vamos ter que tratar de decompor a força de tensão presente no cabo A E :

Para fazer isso, determinemos a distância A E → em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ . Vemos que o ponto A está nas coordenadas ( 0 ; 0,6 ; 0,2 ) em metros e o ponto   E , encontra-se nas coordenadas ( 0,9 ; 0 ; 0,4 ) . Com isso, para achar A E → , basta fazer a diferença entre as coordenadas de E e as coordenadas de   A :

A E → = 0,9 - 0 i ^ + 0 - 0,6 j ^ + ( 0,4 - 0,2 ) k ^

A E → = 0,9 i ^ - 0,6 j ^ + 0,2 k ^   m

E precisamos também do valor de A E , em módulo, né?

A E = ( 0,9 ) 2 + ( - 0,6 ) 2 + ( 0,2 ) 2     m

A E = 1,1   m

Desse jeito, a nossa tração T → A E vai ser dada por:

T → A E = T A E ⋅ A E → A E

T → A E = 55 ⋅ 0,9 i ^ - 0,6 j ^ + 0,2 k ^ 1,1   N

T → A E = 45   N i ^ - 30   N j ^ + ( 10   N ) k ^

Passo 3

Por fim, apliquemos a definição de momento:

∑ M → D B = λ D B ⋅ ( r → A / D × T → A E ) = M D B

Onde temos que:

r → A / D = D A → = - 0,1 j ^ + 0,2 k ^   m

T → A E = 45   N i ^ - 30   N j ^ + ( 10   N ) k ^

λ D B = 0,96 i ^ - 0,28 j ^

Vamos então, fazer o produto vetorial usando o determinante matricial:

M D B = λ D B ⋅ ( r → A / D × T → A E )

M DB = det ⁡ λ D B , x λ D B , y λ D B , z x A y A z A T x T y T z

M DB = det ⁡ 0,96 - 0,28 0 0 - 0,1 0,2 45 - 30 10

M DB = ⁡ 0,96 - 0,28 0 0 - 0,1 0,2 45 - 30 10       0,96 - 0,28 0 - 0,1 45 - 30      

M D B = ( - 0,96 - 2,52 + 5,76 )   N ⋅ m

M D B = 2,28   N ⋅ m

Esse é o nosso momento M D B resultante!!

Resposta

M D B = 2,28   N ⋅ m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dois retrofoguetes de 4N do satélite estacionário são acionados simultaneamente, como mostrado. Calcule o momento associado com este binário e diga em relação a que eixos começarão a ocorrer rotações.
Um mecânico aplica a força horizontal de 100N perpendicularmente à chave de boca, como indicado na figura. Determine o momento dessa força em relação ao centro do parafuso em O . A linha de centro da
Determine o momento associado ao par de forças de 400 N aplicado à estrutura em T .
Eum helicóptero está mostrado e são dadas certas coordenadas tridimensionais. Durante um teste no solo, uma força aerodinâmica de 400 N é aplicada ao rotor da cauda em P , como mostrado. Determine o m
O tubo em ângulo reto O A B do Prob. 2/108 é novamente mostrado aqui. Substitua a força trativa de 750 N que o cabo exerce no ponto B por um sistema força-binário no ponto O .