Enunciado

Utilizando os princípios de equilíbrio a serem desenvolvidos no capítulo 3 , pode-se determinar que a força trativa no cabo A B vale 143,4   N . Determine o momento dessa força trativa atuando no ponto A em relação ao eixo x . Compare seu resultado ao momento do peso W da placa uniforme de 15   k g em relação ao eixo x . Qual é o momento da força trativa atuando em A em relação à linha O B ?

Passo 1

Vamos começar escrevendo um vetor unitário na direção do cabo A B - . Tudo fica mais fácil se escrevermos as coordenadas dos pontos A e B :

B = 0,35   ,   0   ,   0,4

A = 0,7   ,   0,45 cos ⁡ 20 °   ,   - 0,45 sin ⁡ 20 °

A B → = 0,35 - 0,70 i ^ + - 0,45 cos ⁡ 20 ° j ^ + 0,4 + 0,45 sen ⁡ 20 ° k ^

A B → = - 0,35 i ^ - 0,42 j ^ + 0,55 k ^

E para encontrar o vetor unitário só precisamos dividir esse vetor pelo próprio módulo:

A B ^ = A B → A B → = - 0,35 i ^ - 0,42 j ^ + 0,55 k ^ 0,35 2 + 0,42 2 + 0,55 2

A B ^ = - 0,45 i ^ - 0,54 j ^ + 0,71 k ^

E então a força T → é simplesmente o módulo T multiplicado por esse vetor unitário:

T → = 143,4 - 0,45 i ^ - 0,54 j ^ + 0,71 k ^

T → = - 64,53   i ^ - 77,44   j ^ + 101,8   k ^   N

Passo 2

Agora vamos calcular o momento dessa força em relação ao eixo x . Para não ter que decorar mais uma fórmula, vamos fazer o seguinte:

M → = r → × T →

Onde r → é o vetor posição que liga qualquer ponto do eixo x até o ponto de aplicação da força T → :

r → = r x   i ^ + r y   j ^ + r z   k ^

r → = 0,7   i ^ + 0,45 cos ⁡ 20 °   j ^ - 0,45 sen ⁡ 20 °   m

Agora vamos dar uma olhada no produto vetorial:

M → = r → × T → = i ^ j ^ k ^ r x r y r z T x T y T z

M → = i ^ j ^ k ^ 0,7 0,45 cos ⁡ 20 ° - 0,45 sen ⁡ 20 ° - 64,53 - 77,44 101,8

E agora vamos tomar apenas os termos que multiplicam i ^ , já que queremos só a componente M x do momento:

M → x = r y T z - r z T y   i ^

M → x = 0,45 cos ⁡ 20 ° 101,8 i ^ - ( - 77,4 ) ( - 0,45 sen ⁡ 20 ° ) ( i ^ )

M x = M → x = 31,1   N   m

Passo 3

Em seguida queremos comparar esse momento com o da força peso W → em relação ao mesmo eixo.

Agora podemos aproveitar a fórmula que encontramos no passo anterior, mas precisamos substituir T → por W → :

M → x = r y W z - r z W y   i ^

E agora r → é o vetor que liga a origem ao ponto G onde o peso atua:

r y = 0,45 cos ⁡ 20 ° 2

r z = 0

Então:

M → x = r y W z   i ^

W z = - m g = - 15 9,81 = - 147,15   N

M x = M → x = 0,211 - 147,15

M x = - 31,1   N m

Passo 4

Agora queremos calcular o momento da força trativa T → , que já calculamos:

T → = - 64,53   i ^ - 77,44   j ^ + 101,8   k ^   N

Em relação à linha O B . Mas dê uma olhada no desenho:

Perceba que a linha de ação da força T → intercepta a linha O B , então o momento dessa força em relação a essa linha é zero!

Resposta

O momento da força trativa em relação ao eixo x é M x = 31,1   N   m . O momento da força peso em relação ao mesmo eixo é M x = - 31,1   N m . O momento da força trativa em relação à linha O B é zero.

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