Enunciado

5.4748. Determine the coordinates of the centroid of the shaded area.

Passo 1

Para encontrar as coordenadas do centroide podemos usar as equações

X - = ∑ m x - ∑ m

Y - = ∑ m y - ∑ m

Mas esse problema aqui vai simplificar as coisas para a gente, porque a densidade é homogênea. Então ficamos com

X - = ∑ A x - ∑ A

Y - = ∑ A y - ∑ A

Passo 2

Beleza, vamos fragmentar o problema em três figuras mais fáceis de resolver

Vamos começar com o retângulo Q 1 .

x - Q 1 = 6 - 2 2 = 2   i n

E

y - Q 1 = 3 2   i n

Agora temos as coordenadas do centroide do retângulo.

E a área fica o seguinte

A Q 1 = 3 ⋅ 6 - 2 = 12   i n 2

Passo 3

Agora vamos para o retângulo Q 2 , e para facilitar os cálculos vamos fazer uma mudança de coordenadas, agora a origem é na ponta do retângulo

A equação dessas coordenas fica

x = x ' + O '

y = y ' + O '

Vamos lá.

x - Q 2 ' = 2 2 = 1   i n  

y - Q 2 ' = 3 - 2 2 = 1 2   i n

E a área dessa figura é

A Q 2 = 2 ⋅ 3 - 2 = 2   i n 2

Agora vamos colocar nas coordenadas originais

x - Q 2 = 1 + 6 - 2 = 5   i n

y - Q 2 = 1 2 + 0 = 1 2   i n

Passo 4

Agora podemos finalmente usar a equação

X - = ∑ A x - ∑ A

E essa equação vira

X - = A Q   x - Q + A T   x - T A Q + A T

Vamos substituir os valores na equação

X - = 28800 ⋅ 120 + 6400 ⋅ 80 + 320 3 28800 + 6400 = 132,12   m m

E agora vamos fazer para o eixo y

Y - = ∑ A y - ∑ A

Y - = A Q   y - Q + A T   y - T A Q + A T

Substituindo os valores

Y - = 28800 ⋅ 60 + 6400 ⋅ 120 + 80 3 28800 + 6400 = 75,76   m m

Então o ponto do centroide é

132,12 ; 75,76   m m agora vamos para a figura mais complicada, a parábola. Mas a gente pode simplificar, olha só, a parábola pode ser uma subtração de imagens, imagina que a gente tem um retângulo, e subtrai um quarto de um circulo desse quadrado, ficamos com uma parábola.

Vamos trabalhar então. O nosso novo sistema de coordenadas é:

Mas vamos começar calculando a área. A área da parábola é a área do quadrado menos a área da fração de círculo. A área do quadrado é

A Q = 2 2 = 4   i n 2

E a área da fração de círculo é

A C = 1 4 π 2 2 = π

Então

A P = 4 - π

Agora vamos calcular os centroides, para o quadrado é

x Q ' = 2 2 = 1   i n

y Q ' = 2 2 = 1   i n

E para a fração de círculo

x C ' = 2 - 4 3 π 2

y C ' = 2 - 4 3 π 2

Então o centroide da parábola fica

x - P ' = ∑ A x ∑ A

Então

x - P ' = 4 ⋅ 1 - π ⋅ 2 - 4 3 π 2 4 - π

Então

x - P ' = 4 - 2 π + 8 3 4 - π

E olha só, isso vai ser o mesmo para y - P ' , porque tanto o quadrado quando a fração de círculo são simétricos.

Agora vamos passar isso para as coordenadas originais.

x - P = 4 + 4 - 2 π + 8 3 4 - π

E

y - P = 1 + 4 - 2 π + 8 3 4 - π

Passo 5

Só falta a gente calcular o centroide da figura toda agora

x - = ∑ A x - ∑ A

x - = A Q 1 x - Q 1 + A Q 2 x - Q 2 + A P x - P A Q 1 + A Q 2 + A P

Substituindo os valores

x - = 12 2 + 2 5 + 4 - π 4 + 4 - 2 π + 8 3 4 - π 12 + 2 + 4 - π

Fazendo essa conta chegamos em

x - = 2,5452   i n

Agora vamos fazer para y -

y - = ∑ A y - ∑ A

y - = A Q 1 y - Q 1 + A Q 2 y - Q 2 + A P y - P A Q 1 + A Q 2 + A P

Substituindo os valores

y - = 12 3 2 + 2 1 2 + 4 - π 4 + 4 - 2 π + 8 3 4 - π 12 + 2 + 4 - π

E ficamos com

y - = 1,3623   i n

Resposta

x - = 132,1   m m 2,5452   i n y - = 1,3623   i n 75,8   m m

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Localize o centroide y - da área sombreada.
Localize o centroide y - da área.
Localize o centroide y - do paraboloide.
Localize o centroide x - da área.
Localize o centroide y - da área.