Enunciado

5.57. Determine the distance from the bottom of the base plate to the centroid of the built-up structural section shown.

Passo 1

Vamos em busca de mais um centroide!

Essa figura é um pouco complicada para calcular o centroide, por isso vamos separar em várias figuras mais fáceis de calcular:

Então temos sete figuras agora, todas são retângulos, mas para nossa felicidade tem muita simetria aqui, olha só, os retângulos de cores iguais têm mesma área e mesma coordenada y de centroide.

Passo 2

Podemos começar com o retângulo mais abaixo, de cor azul. Vamos começar pela área:

A 1 = 160 ⋅ 10 = 1600   m m 2

E sua coordenada y - é:

y - 1 = 10 2 = 5   m m

Passo 3

Agora vamos nos focar nos retângulos vermelhos. Começando pela área, talvez seja um pouco complicado ver o tamanho da base desse retângulo, mas podemos ver pela figura que a base é:

b = 160 2 - 80 2 = 40   m m

Então a área é

A 2 = A 3 = 40 ⋅ 10 = 400   m m 2

Agora vamos para a coordenada do centroide, mas para isso vamos mudar o centro do sistema de coordenadas primeiro.

A coordenada de O ' é y = 10   m m .

y - 2 ' = y - 3 ' = 10 2 = 5   m m

Agora usando o sistema original de coordenadas:

y - = y - ' + O '

Então

y - 2 = y - 3 = 5 + 10 = 15   m m

Passo 4

Agora vamos para os retângulos amarelos. Começando pela área

A 4 = A 5 = 50 - 10 ⋅ 10 = 400   m m 2

Para calcular a coordenada do centroide vamos subir um pouco mais a origem O ' .

Agora O ' está em y = 20   m m .

A coordenada do centroide é:

y - 4 ' = y - 5 ' = 40 2 = 20   m m

No sistema de coordenadas original:

y - 4 = y - 5 = 20 + 20 = 40   m m

Passo 5

Só faltam os retângulos verdes agora.

A 6 = A 7 = 10 ⋅ 120 = 1200   m m 2

Agora vamos descer O ' , e voltar para y = 10   m m .

Vamos lá:

y - 6 ' = y - 7 ' = 120 2 = 60   m m

Então

y - 6 = y - 7 = 10 + 60 = 70   m m

Passo 6

Agora vamos calcular o centroide da figura completa:

y - = ∑ A y - ∑ A  

Isso fica

y - = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 + A 3 y - 3 + A 4 y - 5 + A 5 y - 5 + A 6 y - 6 + A 7 y - 7 A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 + A 6 + A 7

Agora vamos substituir esses valores

y - = 1600 ⋅ 5 + 2 400 ⋅ 15 + 2 400 ⋅ 40 + 2 1200 ⋅ 70 1600 + 2 400 + 2 400 + 2 1200

Fazendo essa conta toda aqui ficamos com

y - = H - = 39,3   m m

Resposta

H - = 39,3   m m

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Localize o centroide x ¯ da área sombreada.
Localize o centroide y ¯ da área.
Localize o centroide x ¯ ,y ¯ do elemento uniforme. Calcule as integrais usando um método numérico.
Localize o centroide x ¯ ,y ¯ do elemento uniforme. Calcule as integrais usando um método numérico.
Localize o centroide y ¯ da área sombreada.