Enunciado

5.58. Determine the coordinates of the mass center of the body which is constructed of three pieces of uniform thin plate welded together.

Passo 1

Vamos em busca de mais um centroide!

Essa figura é um pouco complicada para calcular o centroide, por isso vamos separar em várias figuras mais fáceis de calcular:

Então vamos dividir em três retângulos, cada um sendo uma face de uma caixa.

Passo 2

Podemos começar com o retângulo A, em azul.

A A = b 2

E o centroide dessa figura fica o seguinte

x - A = b 2

z - A = b 2

E como a figura está no plano x z , temos

y - A = 0

Passo 3

Vamos para o retângulo, B, que está em verde.

A B = 2 b ⋅ b = 2 b 2

E vamos ver como fica a componente do centroide desse retângulo.

y - B = 2 b 2 = b

z - B = b 2

E

x - B = 0

Passo 4

E finalmente o retângulo C, que está em preto.

A C = 2 b ⋅ b = 2 b 2

E as componentes do centroide:

x - C = b 2

y - C = 2 b 2 = b

E

z - C = 0

Passo 5

Agora vamos calcular o centroide da figura completa. Começando pela componente x .

x - = ∑ A x - ∑ A

Isso fica

x - = A A x - A + A B x - B + A C x - C A A + A B + A C

Substituindo esses valores

x - = b 2 ⋅ b 2 + 2 b 2 ⋅ 0 + 2 b 2 ⋅ b 2 b 2 + 2 b 2 + 2 b 2

Então

x - = b 3 2 + b 3 5 b 2 = 3 2 b 3 5 b 2 = 3 10 b

Passo 6

Agora vamos fazer a mesma coisa em y .

y - = ∑ A y - ∑ A

Isso fica

y - = A A y - A + A B y - B + A C y - C A A + A B + A C

Substituindo esses valores

y - = b 2 ⋅ 0 + 2 b 2 ⋅ b + 2 b 2 ⋅ b b 2 + 2 b 2 + 2 b 2

Então

y - = 2 b 3 + 2 b 3 5 b 2 = 4 b 3 5 b 2 = 4 5 b

Passo 7

Agora só falta para o eixo z .

z - = ∑ A z - ∑ A

Isso fica

z - = A A z - A + A B z - B + A C z - C A A + A B + A C

Substituindo esses valores

z - = b 2 ⋅ b 2 + 2 b 2 ⋅ b 2 + 2 b 2 ⋅ 0 b 2 + 2 b 2 + 2 b 2

Então

z - = 1 2 b 3 + b 3 5 b 2 = 3 2 b 3 5 b 2 = 3 10 b

E terminamos mais um problema.

Resposta

x - = 3 10 b y - = 4 5 b z - = 3 10 b

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