Enunciado

56. No problema 3.55 determine o momento sobre a diagonal A D exercida pela força na armação pela porção B G do cabo.

Passo 1

Bom! Antes de mais nada, vamos definir novamente a expressão de momento em relação a A D como sendo:

∑ M → A D = λ A D ⋅ ( r → B / A × T → B G ) = M A D

Esse λ A D , é porque nós queremos posicionar nosso sistema de referência em relação a diagonal A D . Para fazer isso basta escrever λ A D em termos do cosseno e do seno do ângulo C A ^ B , daquele triangulozinho C A D que vemos na figura. Como o triângulo está no plano x z e claramente podemos ver que:

sin ⁡ θ = 0,75 1,25 = 0,6

cos ⁡ θ = 0,75 1,25 = 0,8

Então, tiramos que:

λ A D = 0,8 i ^ - 0,6 k ^

O termo que acompanha o eixo z está negativo, porque caminhamos no sentido contrário do eixo, de A para D . Só para quem tiver alguma dúvida!!

Em seguida, a segunda coisa que temos que fazer é determinar a distância A B → em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ ; afinal esse segmento é o vetor posição r → B / A . Para isso, basta observar a figura do enunciado. Veremos que o ponto A está nas coordenadas ( 0 ; 0 ; 0 ) em metros e o ponto   B , encontra-se nas coordenadas ( 0,5 ; 0 ; 0 ) . Com isso, para achar A B → basta fazer a diferença entre as coordenadas de B e as coordenadas de A :

  A B → = 0,5 - 0 i ^ + 0 - 0 j ^ + ( 0 - 0 ) k ^

A B → = 0,5 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^   m

Passo 2

Achada o nosso vetor A B → , vamos olhar a figura novamente. Vamos tratar de decompor a força de tensão presente no cabo B G :

Para fazer isso, determinemos a distância vetorial B G → em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ . Só nos resta então, observar a figura do enunciado. Veremos que o ponto B está nas coordenadas ( 0,5 ; 0 ; 0 , 75 ) em metros e o ponto   G , encontra-se nas coordenadas ( 0 ; 0,925 ; 0,3 5 ) . Com isso, para achar B G → , basta fazer a diferença entre as coordenadas de G e as coordenadas de   B :

B G → = 0 - 0,5 i ^ + 0,92 5 - 0 j ^ + ( 0 , 35 - 0,75 ) k ^

B G → = - 0 , 5 0 i ^ + 0,92 5 j ^ - 0,40 k ^   m

E precisamos também do valor de B G , em módulo, né?

B G = ( - 0 , 5 ) 2 + ( 0,92 5 ) 2 + ( - 0,40 ) 2     m

B G = 1,1 25   m

Desse jeito, a nossa tração T → B G vai ser dada por:

T → B G = T B G ⋅ B G → B G

T → B G = 450 ⋅ - 0,5 0 i ^ + 0,925 j ^ - 0,40 k ^ 1,125   N

T → B H = ( - 200   N ) i ^ + ( 37 0   N ) j ^ - ( 16 0   N ) k ^

Passo 3

Por fim, apliquemos a definição de momento:

∑ M → A D = λ A D ⋅ ( r → B / A × T → B H ) = M A D

Onde temos que:

r → B / A = A B → = 0,5 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^   m

T → B H = ( - 200   N ) i ^ + ( 370   N ) j ^ - ( 160   N ) k ^

λ A D = 0,8 i ^ - 0,6 k ^

E vamos então, fazer o produto vetorial usando o determinante matricial:

M A D = λ A D ⋅ ( r → B / A × T → B G )

M AD = det ⁡ λ A D , x λ A D , y λ A D , z x B y B z B T x T y T z

M AD = det ⁡ 0,8 0 - 0,6 0,5 0 0 - 20 0 37 0 - 16 0

M AD = ⁡ 0,8 0 - 0,6 0,5 0 0 - 200 37 0 - 16 0       0,8 0 0,5 0 - 20 0 37 0      

M A D = - 111 , 0   N ⋅ m

Esse é o nosso novo momento M A D resultante!!

Resposta

M A D = - 111 , 0   N ⋅ m

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