Enunciado

Determine o momento da força F em relação ao ponto O . Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

Para determinar o momento da força, é necessário determinar o vetor unitário u → B C , que dará a direção da nossa força, o vetor posição r → ou que nos dá a distância do braço da força até o ponto onde avaliamos o momento e a força como um vetor cartesiano ( F → ).

Assim, será possível determinar o momento gerado a partir do produto vetorial:

M → O = r → O B × F → = r → O C × F →

Podemos fazer tanto com o vetor posição r O B → quanto com o vetor posição r O C → , afinal, ambos nos darão a distância do braço da força até o eixo do momento.

Bom galera, primeiro passo aqui, vai ser encontrar a nossa força F → , que vai ser dada por:

F → = F u → B C

Passo 2

Logo, o vetor unitário é dado por:

u → B C = B C x i ^ + B C y j ^ + B C z k ^ ) √ B C x 2 + B C y 2 + B C z 2 )  

Onde esses termos aí, indicam as componentes da distância entre os pontos B e C...

Olhando a nossa figura, podemos indicar que:

B C x = 1,2

B C y = - 1,2

B C z = - 0,6

Show de bolê, agora a gente substitui:

u → B C = 1,2 i - 1,2 j - 0,6 k 1,2 2 + - 1,2 2 + - 0,6 2 = 1,2 i - 1,2 j - 0,6 k 1,8 m

Agora, a nossa força como vetor cartesiano será:

F → = 600   N 1,2 i - 1,2 j - 0,6 k 1,8   m

F → = 400 i ^ - 400 j ^ - 200 k ^ N

Para continuar, precisamos dos vetores posição...

Dando uma olhada na figura, também podemos encontrar as componentes dos vetores posição, e assim escreve-los vetorialmente:

r → O B = 0,3 i + 1,2 j + 0,6 k   m

E:

r → O C = 1,5 i   m

Agora, vamos para o produto vetorial!

Passo 3

Por fim, temos duas formas para calcular o momento, você pode escolher a sua!

1)

O momento será:

M → O = r → O B × F = 0,3 i + 1,2 j + 0,6 k × 400 i - 400 j - 200 k

E, aplicando o determinante para solucionar esse produto vetorial, teremos:

M → O = i j k 0,3 1,2 0,6 400 - 400 - 200 = - 240 i + 240 j - 120 k + 240 i + 60 j - 480 k

Ou seja:

M → O = 300 j - 600 k   N . m

2)

O momento também pode ser dado por:

M → O = r → O C × F = 1,5 i × 400 i - 400 j - 200 k

E o seu determinante será dado por:

M → O = i j k 1,5 0 0 400 - 400 - 200 = 0 i + 0 j - 600 k + 0 i + 300 j + 0 k

Portanto:

M → O = 300 j - 600 k   N ∙ m

Resposta

O momento gerado pela força F em relação ao ponto O é:

M → O = 300 j - 600 k   N ∙ m

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