Enunciado

57. Resolva o Problema 9.2 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Fala, meu querido! Queremos as tensões que agem no plano A B . Se a gente girar o nosso elemento original no sentido anti-horário de θ = 40 ° , chegamos no estado de tensões pedido, porque a base do nosso elemento fica paralela a A B .

Precisamos então das tensões quando aplicamos esse giro em nosso elemento.

Da seguinte figura de estado plano, tiramos também que:

σ x = 5   M P a ,   tensão de tração

σ y = 3   k P a ,   tensão de tração

Ambas saindo das faces.

τ x y = 8   M P a ,   as setas convergem para o 1° e 3° quadrante

Positiva, porque as setas convergem para o 1° e 3° quadrante.

Bora lá montar nosso círculo de Mohr e matar essa questão!

Passo 2

Como estamos trabalhando com Círculo de Mohr, a primeira coisa a se fazer é determinar o centro do círculo, que é dado por:

C e n t r o   d o   C í r c u l o   ( C ) = σ m = σ x + σ y 2

Substituindo os valores numéricos correspondentes, chega-se à:

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = 5   M P a + 3   M P a 2

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = 4   M P a

E em seguida, vamos determinar o raio R do nosso círculo, através da fórmula da tensão de cisalhamento máximo:

R = τ m á x i m o = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocamos as variáveis pelos seus respectivos valores numéricos:

R = τ m á x i m o = 5   M P a - 3   M P a 2 2 + ( 8   M P a ) 2

R ≅ 8,062   M P a

E vamos determinar as coordenadas X e Y que representam nosso estado de tensões:

X = σ x ,   - τ x y = 5 , - 8   M p a

Y = σ y , τ x y = 3,8   M P a

Agora temos tudinho!

Passo 3

Vamos montar nosso círculo

Vamos achar o ângulo θ p que caracteriza o nosso estado. Pela figura, vemos que dá para fazer:

t g   2 θ p = 8 5 - 4 → θ p = 41,43 °

E como a gente chega no estado de tensões que ele pediu girando nosso elemento θ = 40 ° no sentido anti-horário, para gente chegar nele no circulo de Mohr, precisamos girar duas vezes esse ângulo no sentido anti-horário.

Ou seja, vamos girar nosso segmento que representa o nosso elemento 80 ° no sentido anti-horário.

E aí o ângulo que nosso novo elemento faz com a horizontal é:

α = 2 θ p - 80 ° = 2 41,43 ° - 80 °

α = 2,86 °

Passo 4

Aí a gente consegue achar as tensões para esse novo elemento pelo nosso círculo

Por relação trigonométrica, dá pra saber que:

σ y ' = - ( σ m - R cos ⁡ α )

σ x ' = ( σ m + R cos ⁡ α )

τ x ' y ' = R sen ⁡ α

E como temos os valores:

α = 2,86 °

R = 8,072   M P a

σ m = 4   M P a

Susbstituímos nas duas fórmulas anteriores das tensões:

σ y ' = - 4   M P a + ( 8,072   M P a ) cos ⁡ 2,86 °

σ x ' = ( 4   M P a + ( 8,072   M P a ) cos ⁡ 2,86 ° )

τ x ' y ' = - ( 8,072   M P a ) sen ⁡ 2,86 °

Alcançamos nosso resultado:

σ y ' ≅ - 4,061   M P a

σ x ' ≅ 12,061   M P a

τ x ' y ' ≅ 0,404   M P a

Obs: temos algumas diferenças para o gabarito. Mas tá tudo certinho.

Resposta

σ y ' ≅ 4,061   M P a

σ x ' ≅ 12,061   M P a

τ x ' y ' ≅ - 0,404   M P a

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