Enunciado

65. Resolva o Problema 9.15 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Da figura do enunciado, tiramos que:

σ x = - 30   M P a ,   t e n s ã o   d e   c o m p r e s s ã o

σ y = 0 ,   a u s ê n c i a   d e   t e n s ã o   n o   e s t a d o   p l a n o   n e s s e   e i x o

τ x y = - 12   M P a ,   a s   s e t a s   c o n v e r g e m   p a r a   o   2 °   e   4 °   q u a d r a n t e

Para construir o nosso famoso Círculo de Mohr a primeira coisa que temos que fazer é determinar o centro do círculo, que será dado através da fórmula da tensão média σ m e d abaixo:

σ m e d = σ x + σ y 2

E substituindo os valores numéricos correspondentes, chegamos à:

σ m e d = - 30   M P a 2

σ m e d = - 15   M P a   ( C e n t r o   d o   c í r c u l o )

Depois, a próxima coisa que temos que fazer é achar o raio R do círculo através da fórmula da tensão máxima de cisalhamento τ m á x , que é dada por:

R = τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocando os valores de cada variável, obtemos nosso raio como:

R = τ x y = - 30   M P a 2 2 + ( - 12   M P a ) 2

R = τ x y ≅ 19,21   M P a

Passo 2

(a) Obtido o raio e o centro, já podemos construir o nosso círculo, que vai ter a seguinte cara:

O próximo passo agora, é determinar o nosso ângulo 2 θ p , pertinente ao estado plano de tensão, que se for olhar bem o círculo, é dado por:

tan ⁡ 2 θ p = 12   M P a 30   M P a - 15   M P a

tan ⁡ 2 θ p = 0,8

2 θ p = tan - 1 ⁡ 0,8

2 θ p = 38,66 °

θ p ≅ 19,33 °

E o nosso primeiro ângulo de estado plano θ p , 1 que é igual a θ p é dado por:

θ p 1 ≅ 19,33 °

E o sentido? Ora bolas você provavelmente chutaria anti-horário por causa do valor positivo. Mas aí erraria feio. Porque no calculo da tangente, ignoramos que a tensão de cisalhamento do nosso elemento, na verdade é negativa, já que só pegamos valores absolutos. Ou seja, nosso ângulo, na verdade está no sentido horário.

Vaamos então tratar de encontrar as tensões máxima σ 1 e mínima σ 2 , que de acordo com a figura, tiramos que são iguais a:

σ 1 ≅ - 15   M P a + R

σ 1 ≅ - 15   M P a + 19,21   M P a

σ 1 ≅ 4,21   M P a

σ 2 ≅ - 15   M P a - R

σ 2 ≅ - 15   M P a - 19,21   M P a

σ 2 ≅ - 34,21   M P a

E assim, já podemos fazer um esboço do nosso elemento, que vai ter a seguinte tela:

Passo 3

(b) Esse item é uma gracinha porque curiosamente, já respondemos ele praticamente inteiro no P a s s o   1 , quando estávamos coletando dados para fazer nosso círculo. Mas vejam só senhores!

A tensão de cisalhamento máximo que a questão pede, nada mais é do que o raio do nosso círculo e a tensão normal média é o centro do nosso círculo. Logo, de acordo com o que fizemos no P a s s o   1 , chegamos que:

σ m e d = - 15   M P a

τ m a x ≅ 19,21   M P a

Falta só calcular o nosso ângulo cisalhante θ s , que se for novamente parar para observar o nosso maravilhoso círculo de Mohr, é dado por:

tan ⁡ 2 θ s = 30   M P a - 15   M P a 12   M P a

2 θ s = tan - 1 ⁡ 1,25    

2 θ s ≅ 51,34 °

θ s ≅ 25,67 °

E o nosso primeiro ângulo cisalhante θ s 1 , que é igual a θ s fica com o seguinte valor:

θ s 1 ≅ 25,67 °

Esse ângulo agora sim, vai ficar no sentido anti-horário. É uma espécie de regra. Se θ p 1 ficou no sentido horário, então o ângulo cisalhante θ s 1 vai ficar no sentido oposto, ou seja anti-horário.

Só que vamos fazer algo diferente dessa vez. Bora tratar de esboçar nosso elemento em relação ao outro ângulo cisalhante θ s 2 , que é nada mais nada menos que o complemento de θ s 1 , em relação ao sentido horário:

θ s 2 ≅ 90 ° - θ s 1

θ s 2 ≅ 90 ° - 25,67 °

θ s 2 ≅ 64,33 °

Tá quase acabando! Só nos resta agora, esboçar o elemento cisalhante:

Resposta

(a)

σ 1 ≅ 4,21   M P a

σ 2 ≅ - 34,21   M P a

θ p 1 ≅ 19,33 °   ( A n t i - H o r á r i o )

(b)

σ m e d = - 15   M P a

τ m a x ≅ 19,21   M P a

θ s 2 ≅ 64,33 °   ( H o r á r i o )

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