Enunciado

59. Resolva o Problema 9.10 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Da seguinte figura de estado plano, tiramos que:

σ x = 0   k P a

σ y = - 300   k P a ,   t e n s ã o   d e   c o m p r e s s ã o

τ x y = 950   k P a ,   a s   s e t a s   d e   t e n s ã o   c i s a l h a n t e   c o n v e r g e m   p a r a   o   1 °   e   3 °   q u a d r a n t e

Passo 2

Como estamos trabalhando com Círculo de Mohr, a primeira coisa a se fazer é determinar o centro do círculo, que é dado por:

C e n t r o   d o   C í r c u l o   ( C ) = σ m = σ x + σ y 2

Substituindo os valores numéricos correspondentes, chega-se à:

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = - 300   k P a 2

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = - 150   k P a

E em seguida, vamos determinar o raio R do nosso círculo, através da fórmula da tensão de cisalhamento máximo:

R = τ m á x i m o = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocamos as variáveis pelos seus respectivos valores numéricos:

R = τ m á x i m o = 300   k P a 2 2 + ( 950   k P a ) 2

R ≅ 961,77   k P a

Passo 3

Visto que já achamos a posição do centro do nosso círculo e o raio dele, vamos construí-lo em um esboço:

Para calcular nossas tensões σ x ' e τ x ' y '   precisamos do ângulo α . Mas não vai ser tão fácil assim achá-lo. Mas nós somos malandros!

O enunciado da questão 9.10 diz que o elemento faz um ângulo de 30 ° com a horizontal. Ora bolas, então o ângulo θ com a vertical é o complemento disto, ou seja θ = 60 ° . No círculo trabalhamos com o dobro deste ângulo, 2 θ = 120 ° . O que eu quero dizer, é que olhando para o círculo, podemos obter α como:

α = 120 ° + φ - 180 °

Esse φ , nada mais é do que, olhando a figura:

φ = tan - 1 ⁡ 950   k P a 150   k P a

φ ≅ 81,03 °

Desse modo, já podemos obter nosso α como:

α ≅ 120 ° + 81,03 ° - 180 °

α ≅ 21,03 °

Voltemos novamente ao desenho! Ao analisar o círculo, por relação trigonométrica, tiramos que:

σ x ' = σ m - R cos ⁡ α

σ y ' = σ m + R cos ⁡ α

τ x ' y ' = R sen ⁡ α

E como temos os valores:

α = 21,03 °

R = 961,77   k P a

σ m = - 150   k P a

Susbstituímos nas duas fórmulas anteriores das tensões:

σ x ' = - 150   k P a - ( 961,77   k P a ) cos ⁡ 21,03 °

σ y ' = - 150   k P a + ( 961,77   k P a ) cos ⁡ 21,03 °

τ x ' y ' = ( 961,77   k P a ) sen ⁡ 21,03 °

Alcançamos nosso resultado:

σ x ' ≅ - 1,048   M P a

σ y ' ≅ 0,748   M P a

τ x ' y ' ≅ 0,345   M P a

Resposta

σ x ' ≅ - 1,048   M P a

σ y ' ≅ 0,748   M P a

τ x ' y ' ≅ 0,345   M P a

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73. Determine(a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.
74. Determine(a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.