Enunciado

58. Resolva o Problema 9.3 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Da seguinte figura de estado plano, tiramos que:

σ x = 350   k P a ,   t e n s ã o   d e   t r a ç ã o

σ y = - 200   k P a ,   t e n s ã o   d e   c o m p r e s s ã o

τ x y = 0   M P a

Passo 2

Como estamos trabalhando com Círculo de Mohr, a primeira coisa a se fazer é determinar o centro do círculo, que é dado por:

C e n t r o   d o   C í r c u l o   ( C ) = σ m = σ x + σ y 2

Substituindo os valores numéricos correspondentes, chega-se à:

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = 350   k P a - 200   k P a 2

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = 75   k P a

E em seguida, vamos determinar o raio R do nosso círculo, através da fórmula da tensão de cisalhamento máximo:

R = τ m á x i m o = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocamos as variáveis pelos seus respectivos valores numéricos

R = τ m á x i m o = 350   k P a + 200   k P a 2 2

R = 275   k P a

Passo 3

Agora, voltemos até a figura do enunciado. O nosso elemento faz um ângulo de 50 ° com a horizontal. Mas esse valor não nos interessa. Queremos o valor do ângulo θ com a vertical e seu sentido. Ora bolas, esse ângulo é nada mais nada menos que o complemento de 50 ° , ou seja, θ = 40 ° . Para construir o círculo, como trabalhamos com o dobro do ângulo em questão, logo iremos realizar tudo tomando como ponto de partida um ângulo de 2 θ = 80 ° .

Visto que já achamos a posição do centro do nosso círculo e o raio dele, vamos construí-lo em um esboço:

Ao analisar o círculo, por relação trigonométrica, tiramos que:

σ x ' = σ m + R cos ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = R sen ⁡ 2 θ

E como temos os valores:

2 θ = 80 °

R = 275   k P a

σ m = 75   k P a

Susbstituímos nas duas fórmulas anteriores das tensões:

σ x ' = 75   k P a + ( 275   k P a ) cos ⁡ 80 °

τ x ' y ' = ( 275   k P a ) sen ⁡ 80 °

Alcançamos nosso resultado:

σ x ' ≅ 0,123   M P a

τ x ' y ' ≅ 0,271   M P a

Resposta

σ x ' ≅ 0,123   M P a

τ x ' y ' ≅ 0,271   M P a

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