Enunciado

A manivela do pedal de uma bicicleta tem a seção transversal mostrada na figura. Se ela estiver presa à engrenagem em B e não girar quando submetida a uma força de 400 N, determine as tensões principais no material na seção transversal no ponto C.

Passo 1

Fala, meu querido!

Mas essa situação tá bem confusa, né? O que está acontecendo ali, vamos pensar. AB é uma manivela. Vamos pensar nela como uma barrinha. Se houver força de 400   N em A , essa barrinha não gira. Isso quer dizer que B gera reações nessa barrinha para ela não girar.

Basicamente, temos uma barrinha com uma força de 400   N na extremidade, e reações na outra extremidade.

E c é um ponto dentro dessa manivela onde a gente tem que achar as tensões.

Aqui temos um ponto em uma seção sujeita a esforços internos. O que ele quer de nós é que a gente ache as tensões principais nesse ponto.

Como a gente faz isso? Cara, a gente vai achar as tensões nesse ponto e depois vai usar o círculo de Mohr para achar o valor das tensões principais. Vai ser lindo! Vem comigo!

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular os esforços atuantes na seção que contem C .   Vamos cortar nossa barra nessa seção e achar os esforços por equações de equilíbrio.

∑ F y = 0 → V = 400 N

∑ M = 0 → M = 400 × 0,1 = 40 N m

Passo 3

Esse ponto sofre tração causada pelo momento. Aí nossa fórmulinha para a tensão normal fica:

σ C = M c I

Mas repara que I é o momento de inercia em relação ao eixo horizontal da nossa seção. E c é a distância de C até esse eixo, então c = 0,0 0 5   m .

Ficamos assim:

σ c = M y I = 40 × 0,005 0,0075 × 0,02 3 12 = 40 M P a T

Como temos um esforço cortante, teremos cisalhamento.

τ C = V Q I t

O I vai ser o mesmo da outra fórmulinha. t vai ser a espessura da nossa seção, t = 0,0 75 . E Q vai ser o momento estático da área acima da linha que passa por C .

Temos então

τ c = V Q I t = 400 0,0075 × 0,0075 × 0,005 0,0075 × 0,02 3 12 0,0075 = 3 M P a

Prontinho, achamos as tensões.

Passo 4

Agora vamos montar nosso círculo de Mohr. Precisamos de umas coisinhas.

A tensão média:

σ m é d = 40 2 = 20 M P a

Ela é a média das tensões normais que a gente achou em diferentes direções. Uma foi σ C e a outra é zero mesmo.

E o raio do círculo:

R = ( τ B   ) 2 + σ x - σ y 2 2 = 20 2 + 3 2 = 20,224 M P a

A gente pode substituir nossa tensão em σ x ou σ y . Depende do referencial. O importante é que uma seja zero e outra seja σ C ;

Agora vem a parte interessante. Como ele só pede o valor das tensões principais, não precisamos desenhar o círculo, só lembrar que por ele:

σ 1,2 = σ m é d ± R

Logo, podemos calcular as tensões principais:

σ 1 = 20 + 20,244 = 40,224 M P a

σ 2 = 20 - 20,224 = - 0,224 M P a

Uhul! Arraso!

Resposta

σ 1 = 40,224 M P a

σ 2 = - 0,224 M P a

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