Enunciado

60. Resolva o Problema 9.6 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Da seguinte figura de estado plano, tiramos que:

σ x = 90   M P a ,   t e n s ã o   d e   t r a ç ã o

σ y = 50   M P a ,   t e n s ã o   d e   t r a ç ã o

τ x y = - 35   M P a ,   a s   s e t a s   c o n v e r g e m   p a r a   o   2 °   e   4 °   q u a d r a n t e

Passo 2

Como estamos trabalhando com Círculo de Mohr, a primeira coisa a se fazer é determinar o centro do círculo, que é dado por:

C e n t r o   d o   C í r c u l o   ( C ) = σ m = σ x + σ y 2

Substituindo os valores numéricos correspondentes, chega-se à:

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = 90   M P a + 50   M P a 2

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = 70   M P a

E em seguida, vamos determinar o raio R do nosso círculo, através da fórmula da tensão de cisalhamento máximo:

R = τ m á x i m o = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocamos as variáveis pelos seus respectivos valores numéricos

R = τ m á x i m o = 90   M P a - 50   M P a 2 2 + ( - 35   M P a ) 2

R ≅ 40,311   M P a

Passo 3

Agora, voltemos até a figura do enunciado. O nosso elemento faz um ângulo de 60 ° com a horizontal. Mas esse valor não nos interessa. Queremos o valor do ângulo β com a vertical e seu sentido. Ora bolas, esse ângulo é nada mais nada menos que o complemento de 60 ° , ou seja, β = 30 ° . Para construir o círculo, como trabalhamos com o dobro do ângulo em questão, logo iremos realizar tudo tomando como ponto de partida um ângulo de 2 β = 60 ° .

Visto que já achamos a posição do centro do nosso círculo e o raio dele, vamos construí-lo em um esboço. Lembre-se bem que como a tensão cisalhante é negativa, considereraremos a parte de cima do círculo em nossa construção:

Para calcular nossas tensões σ x ' e τ x ' y '   precisamos do ângulo α . Se você reparar bem na figura acima, esse ângulo é dado por:

α = 300 ° - 180 ° - φ

O ângulo 2 θ , bem, é o replemento daquele ângulo 2 β lá, de 60 ° . Ou seja, 2 θ = 300 ° . Agora, o ângulo φ , se você reparar naquele A da figura (onde está a tensão de 90   M P a ) , nós podemos obter como:

φ = tan - 1 ⁡ 35   M P a 90   M P a - 70   M P a

φ = tan - 1 ⁡ 1,75

φ ≅ 60,255 °

Então, obtemos o valor de α como sendo o resultado da operação abaixo:

α ≅ 300 ° - 180 ° - 60,255 °

α ≅ 59,745 °

Voltemos ao que interessa! Ao analisar o círculo, por relação trigonométrica, tiramos que:

σ x ' = σ m + R cos ⁡ α

τ x ' y ' = - R sen ⁡ α

E como temos os valores:

α ≅ 59,745 °

R ≅ 40,311   M P a

σ m = 70   M P a

Susbstituímos nas duas fórmulas anteriores das tensões:

σ x ' ≅ 70   M P a + ( 40,311   M P a ) cos ⁡ 59,745 °

τ x ' y ' ≅ - ( 40,311   M P a ) sen ⁡ 59,745 °

Alcançamos nosso resultado:

σ x ' ≅ 49,7   M P a

τ x ' y ' ≅ - 34,8   M P a

Resposta

σ x ' ≅ 49,7   M P a

τ x ' y ' ≅ - 34,8   M P a

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