Enunciado

61.Se a tração no cabo é F = 700   N , determine a intensidade do momento produzido pela força em relação ao eixo da dobradiça, CD, necessária para manter o painel na posição mostrada.

Passo 1

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor r → mencionado acima pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

r → = { 1,8 i + 0 j + 0 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo CD, é dado por:

u → = r A → r A →

Onde r A → é o vetor que sai do ponto C até o ponto D. Assim:

r A → = { 0 i + 2 , 4 j + 1,8 k }

r A → = 0 2 + 2 , 4 2 + 1,8 2

= 5,76 + 3,24

9 = 3

Logo:

u → = { 0 i + 2 , 4 j + 1,8 k } 3

= { 0 i + 0,8 j + 0 , 6 k }

Passo 2

Antes de começar a calcular o momento temos uma coisa a fazer, temos que expressar nossa força com um vetor cartesiano.

Para isso temos que achar um vetor unitário que tenha a mesma direção que a nossa força, achando isso basta multiplicar o valor da nossa força por ele e obtemos a força em forma vetorial. Então:

F → = F ⋅ v →

Onde v → é vetor unitário mencionado acima.

O vetor unitário que tem a mesma direção que a força, é dado por:

v → = r F → r F →

Onde r F → é o vetor que sai do ponto A até o ponto B. Assim:

r F → = { - 1,8 i + 1,2 j + 3,6 k }

r F → = - 1,8 2 + 1,2 2 + 3,6 2

= 3,24 + 1,44 + 12,96

17,64 = 4,2

Logo:

v → = { - 1,8 i + 1,2 j + 3,6 k } 4,2

= { - 0 , 43 i + 0,28 j + 0,86 k }

Assim:

F → = F ⋅ v →

= 700 ⋅ { - 0,43 i + 0,28 j + 0,86 k }

= { - 301 i + 196 j + 602 k }

Passo 3

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M 0 = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

= 0 0,8 0 , 6 1,8 0 0 - 301 196 602

= 0 0 ⋅ 602 - 0 ⋅ 1 96 - 0,8 1,8 ⋅ 602 - - 301 ⋅ 0 + 0 , 6 1,8 ⋅ 1 96 - - 301 ⋅ 0

= 0 0 - 0 - 0,8 1083,6 + 0 + 0 , 6 ( 352,8 + 0 )

= 0 0 - 0,8 1083,6 + 0 , 6 ( 352,8 )

= - 866,88 + 211,68 = - 655,2   N ⋅ m

Resposta

O valor da intensidade do momento é:

M 0 = - 655,2   N ⋅ m

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