Enunciado

63. A estrutura na forma de um A está sendo suspensa para uma posição ereta pela força vertical F = 400   N . Determine o momento dessa força em relação ao eixo y’ passando pelos pontos A e B quando a estrutura está na posição mostrada.

Passo 1

Para facilitar nossa vida vamos adotar como novos eixos cartesianos, x’, y’ e z. já que as informações fornecidas na figura têm esses eixos como referência.

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x ' u a y ' u a z r x ' r y ' r z F x ' F y ' F z

Onde:

u a x ' ,   u a y '   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ' ,   r y '   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ' ,   F y '   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Como o enunciado diz que a força é vertical, só uma componente dela é diferente de zero que é F z e que vale 400 N.

Agora temos que achar o vetor r → e o vetor unitário u → .

Passo 2

O vetor r → pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

r → = { - 2 cos ⁡ 15 ° i ' + 1 j ' + 2 s e n   15 ° k }

= { - 1,93 i ' + 1 j ' + 0,51 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo y’, é dado por:

u → = - s e n   30 °   i ' + cos ⁡ 30 ° j '

= - 0,5 i ' + 0,86 j '

Passo 3

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x ' u a y ' u a z r x ' r y ' r z F x ' F y ' F z

= - 0,5 0 , 86 0 - 1,93 1 0 , 51 0 0 40 0

= - 0 , 5 1 ⋅ 400 - 0 , 51 ⋅ 0 - 0 , 86 - 1,93 ⋅ 40 0 - 0 , 51 ⋅ 0 + 0 - 1,93 ⋅ 0 - 1 ⋅ 0

= - 0 , 5 400 - 0 - 0 , 86 - 772 - 0 + 0 ( 0 + 0 )

= - 0 , 5 40 0 - 0 , 86 - 772 + 0 ( 0 )

= - 200 + 663,92 = 46 3 , 92   N ⋅ m

Resposta

O momento em relação ao eixo y’ é:

M 0 = 463,92   N ⋅ m

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