Enunciado

67. Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 60 ° em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Mostre o resultado no elemento.

Passo 1

Da figura do enunciado, tiramos que:

σ x = 750   k P a ,   t e n s ã o   d e   t r a ç ã o

σ y = - 800   k P a ,   t e n s ã o   d e   c o m p r e s s ã o  

τ x y = 450   k P a ,   a s   s e t a s   c o n v e r g e m   p a r a   o   1 °   e   3 °   q u a d r a n t e

Para construir o nosso famoso Círculo de Mohr a primeira coisa que temos que fazer é determinar o centro do círculo, que será dado através da fórmula da tensão média, σ m e d , abaixo:

σ m e d = σ x + σ y 2

E substituindo os valores numéricos correspondentes, chegamos à:

σ m e d = 750   k P a - 800   k P a 2

σ m e d = - 25   k P a   ( C e n t r o   d o   c í r c u l o )

Depois, a próxima coisa que temos que fazer é achar o raio R do círculo através da fórmula da tensão máxima de cisalhamento, τ m á x , que é dada por:

R = τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocando os valores de cada variável, obtemos nosso raio como:

R = τ x y = 750   k P a - ( - 800   k P a ) 2 2 + ( 450   k P a ) 2

R = τ x y ≅ 896,17   k P a

Passo 2

Obtido o raio e o centro, já podemos construir o nosso círculo, que vai ter a seguinte cara da figura abaixo. Ah! Só lembrando aqui que nosso elemento está orientado de um ângulo de 60 ° no sentido anti-horário, de modo que ele vai aparecer no nosso círculo com o dobro do seu valor, isto é,   120 ° .

O próximo passo agora, é determinar o nosso ângulo φ , que se for olhar bem o círculo, é dado por:

φ = 450   k P a 750   k P a + 25   k P a

tan ⁡ φ = 450 775

φ = tan - 1 ⁡ ( 0,58 )

φ = 30,14 °

E o nosso ângulo   θ que queremos para realizar nossos cálculos é dado pela subtração abaixo, conforme dá pra ver no círculo de Mohr:

θ = 120 ° - φ

θ ≅ 120 ° - 30,14 °

θ ≅ 89,16 °

Passo 3

Agora, basta olhar o círculo novamente para encontrar as fórmulas de nossas tensões de estado plano, que são dadas por:

σ y ' ≅ - 25 - R cos ⁡ 89,16 °

σ x ' ≅ - 25 + R cos ⁡ 89,16 °

τ x ' y ' ≅ - R sen ⁡ 89,16 °

Substituindo os valores numéricos pertinentes, chegamos à:

σ y ' ≅ - 25 - 896,17 cos ⁡ 89,16 °

σ x ' ≅ - 25 + 896,17 cos ⁡ 89,16 °

τ x ' y ' ≅ - 896,17 sen ⁡ 89,16 °

E aqui está o resultado:

σ y ' ≅ - 27,2   k P a

σ x '   ≅ - 22,8   k P a

τ x ' y ' ≅ - 896   k P a

Pra não perder a viagem, vamos fazer também fazer o esboço de nosso querido elemento né; que vai ter a seguinte aparência:

Resposta

σ y ' ≅ - 27,2   k P a

σ x '   ≅ - 22,8   k P a

τ x ' y ' ≅ - 896   k P a

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