Enunciado

Resolva o Problema 7.30 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Tá legal! Nesse exercício nós vamos esboçar o círculo de Mohr para o estado de tensão dado e depois explorar as duas possibilidades para os valores de sigma_x , encontrando os comprimentos dos segmentos de reta que esboçamos, para encontrar o intervalo de valores admissíveis.

Passo 2

Então vamos lá! Vamos começar escrevendo as tensões que temos de acordo com o elemento dado no enunciado, então teremos:

sigma_y = 103,4 M P a

tau_x y = 55,2 M P a

Para esboçar o círculo de Mohr, precisamos também da coordenada do centro, que é dada por:

C : ( sigma_m e d ; 0 )

E, sabemos que a tensão média é dada por:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2)

Não conseguimos calcular a tensão média ainda, pois não temos o valor de sigma_x . Então as coordenadas para esboçar o círculo de Mohr serão:

X : (sigma_x ; - tau_x y) = (sigma_x ; - 55,2) M P a

Y : (sigma_y ; tau_x y) = (103,4 ; 55,2) M P a

C : (sigma_m e d ; 0) = (sigma_m e d ; 0) M P a

Com esses pontos, e levando em conta que podemos ter 2 valores extremos possíveis para sigma_x , ou seja, para o ponto X, teremos duas configurações do círculo de Mohr, sendo assim, temos:

Passo 3

Beleza! Como foi dito no enunciado que a tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões é igual ou menor que 69 MPa, isso quer dizer que esse será o nosso raio limite do círculo de Mohr, independente da configuração de sigma_x , então temos:

R = 69 M P a

Então, com isso, conseguimos encontrar os dois comprimentos com relação ao centro e ao ponto Y do círculo de Mohr do passo 2, onde temos:

overset(-)(C_1 Y) = R -> overset(-)(C_1 Y) = 69 M P a

overset(-)(C_2 Y) = R -> overset(-)(C_2 Y) = 69 M P a

Agora, dos círculos esboçados no passo 2, podemos enxergar a seguinte relação trigonométrica:

overset(-)(C_1 D)^2 + overset(-)(D Y)^2 = overset(-)(C_1 Y)^2

Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

overset(-)(C_1 D)^2 + 55,2^2 = 69^2 -> overset(-)(C_1 D) = 41,4 M P a

Agora vamos sair encontrando as coordenadas de todos os pontos, para poder encontrar o intervalo admissível para sigma_x . Sendo assim, as coordenadas do ponto C_1 são:

C_1 : (sigma_y - overset(-)(C_1 D) ; 0) = (103,4 - 41,4 ; 0) -> C_1 : (62 ; 0) M P a

Da mesma forma, para o ponto C_2 , como overset(-)(C_1 D) = overset(-)(C_2 D) teremos:

C_2 : (sigma_y + overset(-)(C_2 D) ; 0) = (103,4 + 41,4 ; 0) -> C_2 : (144,8 ; 0) M P a

Agora, as coordenadas do ponto X_1 podem ser dadas por:

X_1 : (C_1_x - overset(-)(C_1 D) ; - tau_x y) = (62 - 41,4 ; - 55,2) -> X_1 : (20,6 ; - 55,2) M P a

E, para o ponto X_2 , teremos:

X_2 : (C_2_x + overset(-)(C_2 D) ; - tau_x y) = (144,8 + 41,4 ; - 55,2) -> X_2 : (186,2 ; - 55,2) M P a

Sendo assim, como vimos lá no passo 1 que as coordenadas do ponto X são dadas por:

X : (sigma_x ; - tau_x y) = (sigma_x ; - 55,2) M P a

O nosso intervalo de interesse para sigma_x corresponde aos valores das coordenadas encontradas para X_1 e X_2 , então teremos:

20,6 <= sigma_x <= 186,2 [ M P a ]

É isso aí! Acabamos mais um!

Resposta

20,6 <= sigma_x <= 186,2 [ M P a ]

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