Enunciado

Resolva o Problema 7.27 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza! Esse exercício vai ser resolvido somente com o auxílio da equação para o raio do círculo de Mohr e vamos lembrar um pouquinho do ensino médio também :).

Passo 2

Então vamos lá! Vamos começar escrevendo as tensões que temos de acordo com o elemento dado no enunciado, então teremos:

sigma_x = 60 M P a

tau_x y = 20 M P a

Então, se o enunciado nos disse que a tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões tem que ser igual ou menor que 75 MPa, vamos tomar o caso limite, em 75 MPa. Sabemos que esse valor de cisalhamento corresponde ao raio do círculo de Mohr, então teremos:

tau_m a x = R = 75 M P a

Passo 3

Agora então, sabendo que a equação para o raio do círculo de Mohr é dada por:

R = sqrt(((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(x y)^2)

Podemos isolar sigma_y dessa equação, já que temos todos os outros valores e queremos justamente o valor de sigma_y , então, fazendo isso, teremos:

R^2 = ((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(x y)^2 -> 4 R^2 = sigma_x^2 - 2 sigma_x sigma_y + sigma_y^2 + 4 tau_(x y)^2

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, chegamos em uma equação do 2º grau para sigma_y , onde teremos:

4 (75)^2 = 60^2 - 2 (60) sigma_y + sigma_y^2 + 4 (20)^2

sigma_y^2 - 120 sigma_y - 17300 = 0

Isso mesmo que você está pensando, vamos ter que aplicar Bháskara para resolver essa equação. Relembrando a fórmula de Bháskara, temos:

x = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Então, para o nosso caso, teremos:

sigma_y = (- (- 120) +- sqrt((- 120)^2 - 4 (1) (- 17300)))/(2 (1))

sigma_y_1 = 204,6 M P a

sigma_y_2 = - 84,6 M P a

Esses dois valores estão dentro do limite máximo de 75 MPa para o cisalhamento, mas como o enunciado nos pediu o maior valor, em módulo, nossa resposta será:

sigma_y = 204,6 M P a

Resposta

sigma_y = 204,6 M P a

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