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68- A figura mostra a vista lateral de uma claraboia uniforme de massa m e com centro de massa na metade da distância entre A   e O . A clarabóia é contrabalançada pela ação da mola, que tem uma rigidez k e que não está alongada quando elas está no plano vertical, em θ = 0 . Determine a rigidez k necessária para equilibrar a clarabóia em uma posição de equilíbrio para θ > 0 .

Passo 1

Vamos desenhar o sistema de modo que sejamos capazes de ver a variação da energia elástica e da potencial gravitacional.

De modo que traçamos as retas que nos dão as posições onde o sistema de energia potencial gravitacional e energia potencial elástica nula.

Se espelharmos a reta laranja na vertical ,que nos diz a distância da altura do centro gravitacional barra, nós teremos a energia potencial gravitacional do sistema que será igual a:

V g = m g l 2 cos ⁡ θ

Agora para a energia potencial gravitacional, nós temos que quando θ = 0 a mola não se estica, o que nos diz que a distância x da figura é igual a zero, logo x é a deformação da mola.

Porém como calcular o valor de x , bem... x é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelo cateto verde e pelo cateto amarelo.

Espelhando a barra toda na vertical e na horizontal temos que a reta roxa vale l c o s   θ , assim como feito para a energia potencial. E a reta verde vale l s i n   θ . Logo a reta amarela vale a diferença:

r e t a   a m a r e l a = l - l cos ⁡ θ = l ( 1 - cos ⁡ θ )

Fazendo Pitágoras nesses dois catetos temos:

x 2 = l 2 sin 2 ⁡ θ + l 2 1 - c o s θ 2

Explicitando l 2 :

x 2 = l 2 sin 2 ⁡ θ + ( 1 - cos ⁡ θ )   2

Abrindo a parcela 1 - c o s θ 2

x 2 = l 2 ( sin 2 ⁡ θ + 1 - 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ) = l 2 ( 2 - 2 cos ⁡ θ ) = 2 l 2 ( 1 - cos ⁡ θ )

Como a energia potencial elástica do sistema é dada pela fórmula:

V e = 1 2 K x 2

Logo:

V e = 1 2 K ( 2 l 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) = K l 2 ( 1 - cos ⁡ θ )

Então a energia total do sistema será:

V = m g l 2 cos ⁡ θ + K l 2 ( 1 - cos ⁡ θ )  

Passo 2

Derivando essa equação em relação a θ teremos:

d V d θ = - m g l 2 sin ⁡ θ + K l 2 sin ⁡ θ

Vamos igualar então essa derivada a zero para encontrar as posições de equilíbrio do sistema.

sin ⁡ θ - m g l 2 + K l 2 = 0

Como θ varia de 0 até π / 2 pelo desenho e o enunciado nos impõe que θ tem que ser maior que zero, então a única opção para essa equação ser 0 é se:

- m g l 2 + K l 2 = 0

Isolando k :

K l 2 = m g l 2

K = m g 2 l

Temos então nossa constante elástica de equilíbrio.

Passo 3

Derivando a equação de energia pela segunda vez nós teremos:

d 2 V d θ 2 = - m g l 2 cos ⁡ θ + K l 2 cos ⁡ θ

Fazendo essa equação ser maior que zero encontramos:

cos ⁡ θ - m g l 2 + K l 2 > 0

Para 0 < θ < π / 2 sempre teremos um valor de cos ⁡ θ > 0 , logo para esse sistema ser estável basta:

- m g l 2 + K l 2 > 0

K > m g 2 l

Resposta

K > m g 2 l

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