Enunciado

69. A tubulação é fixa na parede pelas duas abraçadeiras. Se a força de atrito das abraçadeiras pode resistir a um momento máximo de 225   N ⋅ m , determine o maior peso do vaso de planta que pode ser suportado pela tubulação sem permitir que ela gire em relação ao eixo AO.

Passo 1

Então temos que achar a foça que produz um momento igual a 225   N ⋅ m . Para isso vamos usar a análise vetorial e conseguir o valor da força.

Vamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor r → mencionado acima pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

r → = { ( 1,2 + 0,9 cos ⁡ 30 ° ) cos ⁡ 60 ° i + ( 1,2 + 0,9 cos ⁡ 30 ° ) s e n   60 ° j + 0,9 ⋅ s e n   30 ° k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo OA, é dado por:

u → = r O → r O →

Onde r O →   é o vetor que sai do ponto O até o ponto A. Assim:

r O → = { 0 i + 1,2 j + 0,9 k }

r O → = 0 2 + 1,2 2 + 0,9 2

= 0 + 1,44 + 0,81

2,25 = 1,5

Logo:

u → = { 0 i + 1,2 j + 0,9 k } 1,5

= { 0 i + 0,8 j + 0,6 k }

Em relação a força, como é a força peso do vaso de planta, logo ela só aponta para baixo na vertical, então a única componente que temos diferente de 0 é F z e essa força é negativa já que aponta para parte negativa de z.

Passo 2

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M 0 = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

⇒ 225 = 0 0,8 0,6 ( 1,2 + 0,9 cos ⁡ 30 ° ) cos ⁡ 60 ° ( 1,2 + 0,9 cos ⁡ 30 ° ) s e n   60 ° 0,9 ⋅ s e n   30 ° 0 0 - F

⇒ 225 = F ∙ 0,8 ( 1,2 + 0,9 cos ⁡ 30 ° ) cos ⁡ 60 °

⇒ 225 = 0,79 F

⇒ F = 284,17   N

Resposta

A força precisa ter uma intensidade de:

F = 284,17   N

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