Enunciado

A tubulação é fixa na parede pelas duas abraçadeiras. Se o vaso de planta possui um peso 250   N , determine a intensidade do momento produzido pelo peso em relação ao eixo O A .

Passo 1

Para determinarmos o momento produzido peso da planta, pensaremos da seguinte forma:

Os pontos O e A formarão um vetor r O A , vetor este que será nosso eixo de rotação do momento, Note que teremos que calculo o vetor unitário de r O A . Pois, apenas desejamos a direção e sentido do eixo de rotação. Que chamaremos de u a → .

A partir deste eixo u a → , teremos os vetores entre os pontos O e B, o vetor entre os pontos A e B que serão os nossos vetores comprimento do nosso momento.

Portanto para determinar o momento teremos uma multiplicação entre o eixo, vetor comprimento e peso.

Resumidamente teremos a seguinte equação:

M o = u a → ∙ r → × F → = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde u a x , u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido pelo eixo que passa pelos pontos O e A .

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de um ponto qualquer do eixo até um ponto qualquer da linha de atuação da força.

Passo 2

Vamos determinar o vetor unitário u a → , para isto vamos determinar o vetor O A → :

Olhando para figura, podemos afirmar que as coordenadas do ponto A é a seguinte:

A = 0 ; 1,2 ; 0,9

E as coordenadas do ponto O , fica o seguinte:

O = 0,0 , 0

Considerando o ponto O como inicial e o ponto A como final do nosso vetor r O A pode ser determinado, pela seguinte definição:

r O A = x f - x i i + y f - y i j + z f - z i k

Substituindo os pontos, temos:

r O A = 0 - 0 i + 1,2 - 0 j + 0,9 - 0 k   m

r O A = 1,2 j + 0,9 k   m

Para determinar o vetor unitário, temos que obter módulo do vetor r O A , logo:

r O A = 1,2 2 + 0,9 2 = 1,5

Calculando o vetor unitário u a → , temos:

u a → = r O A r O A = 1,2 j + 0,9 k 1,5 = 0,8 j + 0,6 k

Passo 3

Temos o vetor unitário u a → , precisamos determinar o nosso vetor comprimento r → .

Esse vetor comprimento, precisa ser partindo de um ponto do eixo até um ponto na linha de atuação da força. Escolhi o ponto O por que ele está na origem e será fácil de calcular!

O = 0,0 , 0

Para um ponto na linha de atuação da força, se dermos uma olhada no desenho...

Vemos que a linha de atuação da força peso, é uma linha vertical no eixo z , por isso, eu posso encontrar as coordenadas x e y do ponto B , mas não preciso me preocupar com a coordenada z , pois em qualquer valor dela, vou ter um ponto em cima da linha de atuação da força.Para facilitar nossas contas, vou considerar um ponto com coordenada z = 0 .

B z = 0

Agora, precisamos de B x e B y !

Primeiro, precisamos saber quanto vale a projeção do cano inclinado de 0,9 m sobre o plano x y .

Pelo triângulo que é formado, vemos que essa projeção vale:

r = 0,9 cos ⁡ 30 º = 0,78

Vamos dar uma olhada nesse cano, olhando de cima, vendo apenas o plano x e y .

Daí, tiramos que:

B x = 1,2 + 0,78 cos ⁡ 60 º = 0,990 m

B y = 1,2 + 0,78 s e n 60 º = 1,71 m

B = { 0,99 ; 1,71 ; 0 }

Considerando o ponto O como inicial e o ponto B como final do nosso vetor r O B pode ser determinado, pela seguinte definição:

r O B = x f - x i i + y f - y i j + z f - z i k

Substituindo os pontos, temos:

r O B = 0,99 - 0 i ^ + 1 , 82 - 0 j ^ + 0 - 0 k ^   m

r O B = 0,99 i ^ + 1,71 j ^   m

Passo 4

Bem estamos prontos para efetuar o cálculo do momento:

M o = u a → ∙ r O B → × F → = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Para substituir todo mundo, falta apenas indicar qual é a força. Aqui temos uma força peso, portanto, será:

F → = - 250 N j ^

Substituindo nossos cálculos, temos:

M o = 0 0,8 0,6 0,99 1,71 0 0 0 - 250

Executando o determinante, temos:

M 0 = 0 + 0 + 0 - 0 + 0 + - 250 × 0,99 × 0,8

M 0 = 198 N m

Sendo assim, o momento gerado por essa força ao redor do eixo O A é de 198 N m !

Resposta

M 0 = 198   N m

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