Enunciado

72- O disco uniforme de alumínio com raio R e massa m rola sem deslizar sobre a superfície circular fixa de raio 2 R . Um cilindro de chumbo também de massa   m está preso ao disco e seu centro está localizado a uma distância b do centro O do disco. Determine o valor mínimo de b para o qual o disco permanecerá em equilíbrio estável no topo, sobre a superfície cilíndrica, como mostrado.

Passo 1

Vamos fazer com que o corpo composto esférico percorra um ângulo θ em relação ao centro da superfície tal como na figura abaixo.

Agora vem um exercício de imaginação, já que os dois tem raios diferentes isso significará que a bola azul percorrerá uma distância bem maior do que caso se ela estivesse em uma superfície plana. Logo além a bola percorrerá um ângulo β proporcional a distâncias dos dois raios.

A relação entre os dois ângulos é a distância do arco s formado pelo deslocamento do círculo azul que é calculado como:

2 R   θ = R β → β = 2 θ

Passo 2

Agora podemos fazer a somatória das energias potencias das duas bolas compostas.

Para a esfera maior de alumínio temos que a esfera maior não altera suficiente o seu centro de massa logo que continua em O logo:

cos ⁡ θ = h 3 R → h = 3 R c o s   θ

O que faz com que a energia potencial dessa esfera maior seja:

V g = m g ( 3 R c o s   θ )

Passo 3

Para a pequena esfera de chumbo:

Sabemos que a distância do seu centro de massa até o centro da esfera de alumínio é de b logo se rebateremos essa distância na vertical e tirarmos da distância vertical do alumínio teremos a sua altura em relação a θ , tal que.

h = 3 R c o s   θ - g

g = b c o s   ( 2 θ + θ )

Logo:

h = 3 R c o s   θ - b c o s   ( 3 θ )

Então sua energia potencial gravitacional será:

V g = m g 3 R c o s   θ - b c o s   3 θ = 3 m g R c o s   θ - m g b c o s   ( 3 θ )

Então a somatória das energias potencias das esferas será:

V = 6 m g R cos ⁡ θ - m g b cos ⁡ ( 3 θ )

Passo 4

A derivada em relação a θ da energia do sistema será igual a:

d V d θ = - 6 m g R s i n   θ + 3 m g b sin ⁡ 3 θ

O que diz que o sistema será equilibrado para θ = 0 .

Se derivarmos mais uma vez teremos:

d 2 V d θ 2 = - 6 m g R c o s   θ + 9 m g b c o s   3 θ

Onde para θ = 0 o sistema será estável em:

- 6 m g R + 9 m g b > 0

9 b > 6 R

b > 2 3 R

Como o sistema é estável em θ = 0 logo o menor b que devemos ter é:

b m i n = 2 3 R

Resposta

b m i n = 2 3 R

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