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92- Ache o volume V do sólido gerado pela revolução da área sombreada por 90 gruas em torno do eixo x

Passo 1

Como a figura está rotacionada 90 graus pode ser que não fique claro a figura geométrica da questão.

Onde r - é o raio de giro da figura geométrica, r o raio do círculo e a a distância inicial da origem de r - .

E para calcular o volume causado por essa área basta fazer o teorema de Pappus.

V = θ r - A

Onde sabemos somente o valor de θ que é π / 2 que sempre deve ser em radianos.

Precisaremos então calcular sua área e posteriormente seu ponto de centro em relação a r - .

Passo 2

Sua área é a área do retângulo formado pelo raio do quarto de círculo menos a área desse quarto de círculo.

A = r 2 - π r 2 4 = r 2 1 - π 4

Passo 3

E para calcular r - vamos fazer a seguinte conta:

r - = ∑ r A A

E assim como fizemos com a área, também precisamos fazer com o centroide da figura multiplicado pela área da figura.

Logo:

Área do quadrado: r 2

Centroide do quadrado: a + r 2

Área do quarto de círculo: π r 4

Centroide do quarto de círculo: a + r - 4 r 3 π

Pois assim como nos exercícios do começo desse capítulo nos mostra que o centroide de um quarto de círculo é dado em relação ao centro desse quarto de círculo então em relação ao eixo de giro nós precisamos pegar o raio r do círculo e diminuir da distância real do centroide do círculo para encontrar essa distância real.

∑ r A = a + r 2 r 2 - a + r - 4 r 3 π π r 2 4  

Isolando r 2 :

∑ r A = r 2 a + r 2 - a + r - 4 r 3 π π 4  

∑ r A = r 2 a - a π 4 + r 2 - r π 4 + r 3

∑ r A = r 2 a 4 4 - π + 6 r - 3 r π + 4 r 12 = r 2 a 4 4 - π + r 12 10 - 3 π

Para encontrar o centroide r - :

r - = r 2 a 4 4 - π + r 12 10 - 3 π r 2 1 - π 4

r - = 3 a 4 - π + r ( 10 r - 3 π ) 12 4 - π 4 = 12 a 4 - π + 4 r ( 10 - 3 π ) 12 ( 4 - π )

Logo:

r - = a + r ( 10 - 3 π ) 3 ( 4 - π )

Passo 4

Agora basta calcular o volume:

V = π 2 a + r 10 - 3 π 3 4 - π r 2 1 - π 4

V = π r 2 8 a + r 10 - 3 π 3 4 - π 4 - π

V = π r 2 8 a 4 - π + r 10 - 3 π 3

Resposta

V = π r 2 8 a 4 - π + r 10 - 3 π 3

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