Enunciado

86- Uma haste delgada de comprimento L é mantida em equilíbrio, tal como mostra a figura, com uma extremidade contra uma parede sem atrito e a outra presa a uma corda de comprimento S . Deduza uma expressão para a distância h em termos de L e S . Mostre que essa posição de equilíbrio não existe se S > 2 L .

Passo 1

Considerando que essa haste tem um peso igual a W e a força no cabo igual a T , nós poderemos escrever o diagrama de forças nessa haste com as seguintes forças.

Passo 2

Se aplicarmos Pitágoras nesse triângulo retângulo nós teremos:

S 2 = L cos ⁡ θ 2 + h + L sin ⁡ θ 2

S 2 = L 2 cos 2 ⁡ θ + L 2 sin 2 ⁡ θ + h 2 + 2 h L sin ⁡ θ

S 2 = L 2 + 2 h L sin ⁡ θ + h 2

Porém θ é uma variável que não ‘’existe’’ no problema, nós que colocamos ele ai. Nós precisamos correlacionar ele somente com L com S ou com h para podermos continuar de alguma forma.

E para isso vamos desenhar o diagrama de forças de outra maneira.

Pois para haver equilíbrio as forças devem se encontrar acima da posição do centro de gravidade, tendo na horizontal distâncias iguais a L 2 cos ⁡ θ .

Então por semelhança de triângulos conseguimos ver que:

h = L sin ⁡ θ

Logo se substituirmos isso nós teremos:

S 2 = L 2 + 2 h 2 + h 2

h = S 2 - L 2 3

Passo 3

Agora existe uma propriedade da condição de existência de um triângulo que nos diz que se tivermos um triângulo de lados a , b e c esses lados obrigatoriamente terão que ter tamanhos iguais a:

b - c < a < b + c

a - c < b < c + a

a - b < c < a + b

Logo o lado h do triângulo de lados iguais a h , L e S será:

S - L < h < S + L

Como S > L então pode tirar o módulo:

S - L < h < S + L

Como h = S 2 - L 2 3 então:

S - L < S 2 - L 2 3 < S + L

Elevando tudo ao quadrado:

S - L 2 < S 2 - L 2 3 < S + L 2

Multiplicando todo mundo por 3 :

3 S 2 - 2 S L + L 2 < S 2 - L 2 < 3 S 2 + 2 S L + L 2

Somando L 2 em todo mundo:

3 S 2 - 6 S L + 4 L 2 < S 2 < 3 S 2 + 6 S L + 4 L 2

Agora diminuindo S 2 de todo mundo:

2 S 2 - 6 S L + 4 L 2 < 0 < 2 S 2 + 6 S L + 4 L 2

O que é algo como:

2 S - L S - 2 L < 0 < 2 ( S + L ) ( S + 2 L )

Na primeira parte da igualdade temos:

S < L ; S < 2 L

E na segunda:

S < - L

S < - 2 L

Nenhuma delas aponta para S > 2 L e na verdade a segunda é impossível pois S não pode ser negativo. Sendo descartado.

Resposta

h = S 2 - L 2 3

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