Enunciado

9.83 Determine o volume do sólido formado girando-se a área sombreada em torno do eixo x usando o segundo teorema de Pappus-Guldinus. A área e o contróide y - da área sombreada devem ser obtidos primeiro usando-se integração.

Passo 1

A fórmula para determinar o volume é:

V = θ y - A

Onde θ é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso 2 π

Para descobrirmos a área, devemos integrar a função

y 2 = 4 x

y = 4 x

y = 2 x

de 0 até 4, pois a integral é numericamente igual a área sob a curva:

A = ∫ 0 4 2 x d x

A = 2 ⋅ 2 x 3 / 2 3 0 4

A = 2 ⋅ 2 4 3 / 2 3

A = 10,67   m 2

E y - é a distância perpendicular do eixo de revolução ao centroide da área de geração. A fórmula para calcular essa distância é:

y - = ∫ A y - d A ∫ A d A

Vamos pegar um elemento infinitesimal de área que seja um retângulo na horizontal dessa forma um de seu lados vai ser “ d y ”, dai da de integrar a função:

d A = 4 - x d y

Isolando o x na função, para substituir na equação:

y 2 = 4 x

x = y 2 4

Então:

d A = 4 - y 2 4 d y

A equação vai ficar:

y - = ∫ 0 4 y 4 - y 2 4 d y ∫ A d A

A integral que tá no denominador é a área que a gente já calculou:

y - = ∫ 0 4 4 y - y 3 4 d y 10,67

y - = 2 y 2 - y 4 16 0 4 10,67

y - = 2 4 2 - 4 4 16 10,67

y - = 1,5   m

Passo 2

Então é só aplicar na formula e obteremos o volume:

V = θ y - A

V = 2 π 1,5 10,67

V = 100,5   m 3

Resposta

V = 100,5   m 3

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