Enunciado

9.85 Determine o volume dentro o tanque de parede fina de A até B .

Passo 1

Vamos separar o tanque em dois pedaços, a metade de uma esfera que fica em cima e o tronco de um cone que fica embaixo. A fórmula para determinar o volume é:

V = θ r - A

Onde θ é o ângulo de revolução em radianos

r - é a distância perpendicular do eixo de revolução ao centroide da área de geração

e A é a área de geração.

A metade de cima é formada pela revolução desse área:

Esse área é um quarto de uma circunferência, então podemos observar na tabela do apêndice que a distância r - é

r - = 4 R 3 π

O raio da circunferência é 3, logo

r - = 4 π

A área A é igual a um quarto de circunferência:

A = 1 4 ⋅ π r 2

A = 1 4 ⋅ π 3 2

A = 9 π 4

E θ = 2 π , porque á área da uma volta completa para formar o tanque.

Então o volume vai ser igual a:

V 1 = 2 π 4 π 9 π 4

V 1 = 18 π

Passo 2

Já a metade de baixo é formada pela revolução completa ( θ = 2 π ) de um triângulo mais a revolução de um retângulo:

A localização do centroide de um triângulo é tabelada, sabemos que r - , nesse caso, vai ser igual a

r - = 1 + 1 3 h

r - = 1 + 1 3 2

r - = 5 3   m

A é a área de um triângulo:

A = b h 2

A = 2 ⋅ 1,5 2

A = 1 , 5   m 2

Agora só multiplicar os valores:

V 2 = 2 π 5 3 1 , 5

V 2 = 5 π   m 3

Vamos fazer a mesma coisa para o retângulo:

O centroide fica bem no centro do retângulo, então

r - = 1 2   m

Sua área é

A 3 = b h

A 3 = 1 1,5

A 3 = 1,5   m 2

Multiplicando os valores:

V 3 = 2 π 1 2 1,5

V 3 = 1,5 π   m 3

Passo 3

Somando os três volumes, vamos obter o volume total:

V = V 1 + V 2 + V 3

V = 18 π + 5 π + 1,5 π

V = 2 4,5 π

V = 77 , 0   m 3

Resposta

V = 77,0   m 3

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