Enunciado

A superfície cônica e a base circular da bóia de água salgada são fabricadas em uma placa de aço fina que pesa 10,2 libras por pé quadrado. Calcule o diâmetro d da bola esférica de chumbo suspensa no vértice da bóia para que a base será de 12 pol. acima da superfície da água.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha???

Primeiro, isolaremos e desenharemos o diagrama de corpo livre do cone e da esfera com seus pesos e forças de flutuabilidade atuando em ambas as figuras.

Se o cone é sagrado, teremos que calcular sua superfície para determinar seu peso.

A = A b a s e + A c .   s u r f a c e

A = r 2 π + π   L ∙ r

Onde L = 4 2 + 2 ² = 4.47 ´ é o comprimento do lado do cone. Substitua r e L por seus valores na expressão acima.

A = 2 2 π + π ∙ 4.47 ∙ 2 = 40.65   l b ²

Como o peso do local de aço (do qual o cone é modo) é 10.2   l b / f t ² , o peso do cone é:

W C = 40.64 ∙ 10.2 = 414.65   l b

Para escrever a expressão para o peso da esfera, teremos que calcular seu volume.

V s = π ∙ d ³ 6

Observe que o peso específico do chumbo é γ L = 710   l b / f t ³ o peso da esfera é:

W s = γ L ∙ V s

W s = 710 ∙ π ∙ d 3 6 = 371.76   d ³

Passo 2

Primeiro, isolaremos o diagrama de corpo livre do cone e da esfera com seus pesos e forças de flutuabilidade atuando em ambas as figuras.

A força de empuxo é igual ao peso e volume específicos da água.

F = γ ω ∙ V

O volume do cone sob a água é: V c = r 2 π 3 ∙ h

Imagine que cortamos o cone ao nível do mar. Usar o raio de proporção de um círculo cortado é:

r 3 = 2 4             ⇒               r = 2 ∙ 3 4 = 1.5 ´

Substitua r por seus valores na expressão para o volume do cone.

V c = 1.5 2 π 3 ∙ 3 = 7.07   l b ³

Como o volume de uma esfera já foi calculado na etapa acima, podemos substituir V e γ ω   por seus valores na expressão de F para calcular as forças de empuxo que atuam no cone e na esfera.

F c = 64 ∙ 7.07 = 452.39   l b

F s = 64 ∙ π   d 3 6 = 33.51   d ³

Passo 3

Equacionando a soma das forças na direção y a zero, obteremos a equação em que a dimensão d é a única incógnita.

∑ F y = 0 F s + F c - W s - W c = 0

Substitua todas as forças por expressões escritas nas etapas anteriores.

33.51   d 3 + 452.39 - 371 . 76   d 3 - 414.65 = 0

452.39 - 414.65 = 371.76   d 3 - 33.51   d ³

37.74 = 338.25   d ³

A partir daqui, podemos expressar d como:

d = 37.74 338.25 3

Resposta

d = 0.4814 ´

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