Enunciado

9.93 O alimentador está cheio até o topo com carvão. Estime o volume do carvão se os vãos (espaço vazio) correspondem a 35% do volume do alimentador.

Passo 1

Para calcular o volume, vamos separar o sólido em um triângulo e dois retângulos, para fazer a revolução deles:

A fórmula para determinar o volume é:

V = θ ∑ r - A

Onde θ é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso 2 π

r - é a distância perpendicular do eixo de revolução, nesse caso o eixo y , ao centroide da área de geração. O centroide de um retângulo fica bem no meio dele, então

r - a m a r e l o = 1,5 2 = 0,75   m

r - a z u l = 0 , 2 2 = 0,1   m

E o centroide de um triângulo é tabelado, ele vai ficar:

r - v e r m e l h o = 0,2 + h 3

r - v e r m e l h o = 0,2 + 1,3 3

r - v e r m e l h o = 0,633   m

E A é a área de geração, ou seja a área de cada formato.

O retângulo amarelo:

A a m a r e l o = b h

A a m a r e l o = 3 6

A a m a r e l o = 6   m 2

O retângulo azul:

A a z u l = b h

A a z u l = 0,2 1,2

A a z u l = 0,24   m 2

O triângulo vermelho:

A v e r m e l h o = b h 2

A v e r m e l h o = 1 , 3 1,2 2

A v e r m e l h o = 0,78   m 2

Passo 2

Então é só aplicar na formula e obteremos o volume:

V = θ ∑ r - A

V = 2 π 0,75 6 + 0 , 1 0,24 + 0,6 3 3 0,78

V = 31,53   m 3

Como 35% do reservatório contem espaços vazios, sobra 65% de espaços com carvão. Logo o volume de carvão no reservatório vai ser de:

V c a r v ã o = 31,53 ⋅ 0,65

V c a r v ã o = 20,5   m 3

Resposta

V c a r v ã o = 20,5   m 3

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92- Ache o volume V do sólido gerado pela revolução da área sombreada por 90 gruas em torno do eixo x
A área de um setor circular é girada de 180° em torno do eixo y. Determine o volume do corpo resultante, o qual é parte de uma esfera.
Usando os métodos desta seção determine a área superficial A e o volume V do corpo formado pela revolução da área retangular por 360° em torno do eixo z.
O arco circular é girado de 360° em torno do eixo y. Determine a área superficial externa S do corpo resultante, que é uma parte de uma esfera.
Calcule o volume V do sólido gerado pela revolução de 180° do triângulo retângulo em torno do eixo z.