Enunciado

A aceleração de uma partícula que está se movendo ao longo de uma linha reta a = - k v , onde a é em metros por segundo ao qudrado, k é uma constante, e v é a velocidade em metros por segundo. Determine a velocidade como função tanto do tempo t como da posição s . Avalie suas expressões para t = 2   s e em s = 3   m se k = 0,2   m 1 / 2 s - 3 / 2 e as condições iniciais no instante t = 0 são s 0 = 1   m e v 0 = 7   m / s .

Passo 1

Aqui é preciso ter cuidado, porque a aceleração não foi dada em função do tempo, mas sim da velocidade v :

a = - k v

Nosso primeiro objetivo é obter a velocidade como função da posição.

Começamos escrevendo as seguintes equaçães para a velocidade e a aceleração:

v = d s d t           ,             a = d v d t

Isolando d t nas duas equações acima, podemos obter um sistema:

d t = d v / a d t = d s / v

E então ficamos com a seguinte equação:

d v a = d s v

Passo 2

E agora podemos substituir o a na equação:

v   d v = a   d s

v   d v = - k v   d s

E caímos em uma equação diferencial separáve. Já sabemos como resolver isso: separar e integrar!

v d v v = - k   d s

E integrando:

∫ v d v v = ∫ - k   d s

∫ v   d v = - k ∫ d s

2 3 v 3 / 2 + A = - k s + B

E agora precisamos definir as constante de forma que a equação faça sentido:

A = - 2 3 v o 3 / 2

B = k s o

Então:

2 3 v 3 / 2 = - k s + k s o + 2 3 v o 3 / 2

v 3 / 2 = 3 k 2 s 0 - s + v 0 3 / 2

v = 3 k 2 s 0 - s + v 0 3 2 2 / 3

E essa é a relação que dá a velocidade em função da posição.

Passo 3

Agora falta obter v ( t ) . Vamos retomar a relação de antes:

a t = d v d t

d t = d v a

Agora vamos substituir a equação que temos para a ( v ) :

d t = d v - k v

E agora caímos em uma equação diferencial separável! Vamos supôr que o movimento começa no instante t 0 = 0 , de forma que:

∫ d t = t - t o = t

Então:

t = - 1 k ∫ v 0 v v - 1 / 2   d v

E a integral é bastante simples:

t = - 2 k v 1 2 + 2 k v o 1 2  

E a função que dá a velocidade em função do tempo é:

- k t 2 = v - v 0

v = k t 2 - v 0

v = k t 2 - v 0 2

v = v 0 1 / 2 - 1 2 k t 2

E essa é a velocidade em função do tempo.

Passo 4

Agora podemos avaliar as duas funções nas condições fornecidas. As condições são:

t = 2   s   ; s = 3   m

k = 0,2   m 1 / 2 s - 3 / 2

s 0 = 1   m   ;     v 0 = 7   m / s

E as nossas equações eram:

v ( t ) = v 0 1 / 2 - 1 2 k t 2

v ( s ) = 3 k 2 s 0 - s + v 0 3 2 2 / 3

Agora é só substituir os valores numéricos:

v 2 = 7 - 1 2 0,2 2 2 ≅ 5,98   m / s

v 3 = 3 k 2 1 - 3 + 7 3 / 2 2 / 3 ≅ 6,85   m / s

Pronto!

Resposta

As funções são v ( t ) = v 0 1 / 2 - 1 2 k t 2 e v ( s ) = 3 k 2 s 0 - s + v 0 3 2 2 / 3 , e a velocidade é 6,85   m / s   na posição s = 3   m e 5,98   m / s no instante t = 2   s .

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