Enunciado

Um pequeno projétil é lançado a partir do ponto O com uma velocidade inicial de u = 500   m / s no ângulo de 60 ° em relação à horizontal como mostrado. Despreze a resistência atmosférica e qualquer variação em g e calcule o raio de curvatura p da trajetória do projétil 30 segundos após o disparo.

Passo 1

Bom, o segredo pra calcular o raio de curvatura da trajetória é achar o módulo da aceleração normal, que é a componente da aceleração que é normal à trajetória da partícula, e também o módulo da velocidade. Depois que fizermos isso:

a n = v 2 ρ         ⇒       ρ = v 2 a n

Pronto, teremos o raio de curvatura.

Nesse caso, a única aceleração envolvida é a da gravidade, que é sempre vertical para baixo:

Nós podemos definir esse ângulo θ como o ângulo que o vetor velocidade faz com a horizontal:

tan ⁡ θ = v y v x

E aí podemos mostrar pelo desenho que esse θ também é o ângulo que a aceleração normal a → n forma com o vetor g → ! Ou seja:

a n = g cos ⁡ θ

Passo 2

Vamos ver onde essas equações nos levam. Isolando θ na primeira e substituindo na segunda:

a n = g cos ⁡ arctan ⁡ v y v x

E voltando na definição da aceleração normal:

v 2 ρ = g cos ⁡ arctan ⁡ v y v x

Só que podemos escrever o v em função de v y e v x :

v y 2 + v x 2 ρ = g cos ⁡ arctan ⁡ v y v x

Ou seja, só o que precisamos para resolver esse problema é achar os componentes v x e v y da velocidade do projétil no instante de tempo que foi pedido.

Passo 3

Por sorte o enunciado já deu tudo o que precisamos para calcular isso. Como não existe aceleração na direção horizontal:

v x = 500 . cos ⁡ 60 °

v y = 500 . sen ⁡ 60 ° - g t

Então, no instante t = 30   s :

v x = 250   m / s

v y = 139   m / s

Agora voltando na nossa fórmula:

139 2 + 250 2 ρ = g cos ⁡ arctan ⁡ 139 250

E agora é só jogar na calculadora:

81821 ρ = ( 8,57 )

ρ ≅ 9,54   .   10 3   m

Pronto!

Resposta

O raio de curvatura é ρ ≅ 9,54   k m .

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