Enunciado

A aeronave A com equipamento de detecção por radar está voando horizontalmente a uma altitude de 12   k m e está aumentando sua velocidade na taxa de 1,2   m / s cada segundo. Seu radar capta uma aeronave B voando na mesma direção e no mesmo plano vertical a uma altitude de 18   k m . Se A tem uma velocidade de 1000   k m / h no instante em que θ = 30 ° , determine os valores de r ¨ e θ ¨ neste mesmo instante se B tem uma velocidade constante de 1500   k m / h .

Passo 1

Primeiramente, vamos calcular a velocidade relativa de B em relação a A (que só existe na direção do eixo x ) no instante em que θ = 30 ° :

v B A = v B - v A

v B A = 1500 3,6 - 1000 3,6

v B A = 138,9   m / s

Note que os valores de r e θ são valores de B em relação a A . Então, usando essas coordenadas polares, podemos escrever a velocidade relativa também assim:

v B A = r ˙   e r + r θ ˙   e θ

Porém, já achamos o módulo dessa velocidade, então também podemos escrever assim:

v B A = v B A cos ⁡ θ   e r - v B A   s e n   θ   e θ = 138,9 cos ⁡ 30 °   e r - 138,9   s e n   30 °   e θ

v B A = 120,3   e r - 69,5   e θ

Então, igualando os componentes em e r , obtemos:

r ˙ = 120,3   m / s

E em e θ :

r θ ˙ = - 69,5

Olhando pra figura, a distância vertical é de 6   k m = 6000   m , então:

6000 r = s e n   θ = s e n   30 °

r = 6000 s e n   30 ° = 12000   m

Substituímos isso de volta na equação:

12000   θ ˙ = - 69,5

θ ˙ = - 0,00579   r a d / s

Passo 2

De modo bastante parecido, vamos calcular a aceleração relativa de B em relação a A , que só existe na direção do eixo x :

a B A = a B - a A

a B A = 0 - 1,2

a B A = - 1,2   m / s 2

Mas a fórmula geral da aceleração em coordenadas polares nos dará:

a = r ¨ - r θ ˙ 2   e r + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙   e θ

Como já achamos o módulo dessa aceleração, podemos também escrever assim:

a B A = - 1,2 cos ⁡ 30 °   e r + 1 , 2   s e n   30 °   e θ

a B A = - 1,039   e r + 0,6   e θ

Então, igualando os componentes em e r , obtemos:

r ¨ - r θ ˙ 2 = - 1,039

Lembre-se que já calculamos r = 12000   m , r ˙ = 120,3   m / s e θ ˙ = - 0,00579   r a d / s , então podemos substituir esses valores:

r ¨ - 12000 - 0,00579 2 = - 1,039

r ¨ = - 0,637   m / s 2

Agora igualando em e θ :

r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 0,6

12000   θ ¨ + 2 120 ,   3 ( - 0,00579 ) = 0,6

θ ¨ = 0,000166   r a d / s 2

Resposta

r ¨ = - 0,637   m / s 2

θ ¨ = 0,000166   r a d / s 2

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