Enunciado

Em um dado instante após saltar do avião A , um paraquedista B está na posição mostrada e atingiu uma velocidade terminal (constante) v B = 50   m / s . O avião possui a mesma velocidade constante v A = 50   m / s , e após um período de voo horizontal começa a seguir a trajetória circular apresentada de raio ρ A = 2000   m .

(a) Determine a velocidade e a aceleração do avião em relação ao paraquedista.

(b) Determine a taxa de variação no tempo da velocidade v r do avião e o raio de curvatura ρ r da sua trajetória, as duas conforme observadas pelo paraquedista sem rotação.

Passo 1

(a) A velocidade v A do avião é para a direita, e a velocidade v B do paraquedista é para baixo, então podemos escrever assim:

v A = 50   i + 0   j

v B = 0   i - 50   j

Portanto, a velocidade relativa do avião A em relação ao paraquedista B será:

v A B = v A - v B = 50   i + 0   j - 0   i - 50   j

v A B = 5 0   i + 50   j   m / s

Como ambos tem módulo de velocidade constante, a única aceleração presente será a aceleração normal (para cima) devido ao movimento circular do avião A :

a A = 0   i + v A 2 ρ A   j = 0   i + 50 2 2000   j = 0   i + 1,25   j

a B = 0

a A B = a A - a B = a A

a A B = 0   i + 1,25   j   m / s 2

Passo 2

(b) Primeiro vamos achar que ângulo θ a velocidade relativa v A B faz com a horizontal:

t g   θ = v A B y v A B x = 50 50 = 1

θ = t g - 1 1 = 45 °

Então, pra determinar a taxa de variação no tempo da velocidade v r do avião vista pelo paraquedista, tudo que precisamos fazer é calcular a componente da aceleração relativa a A B nessa direção, assim:

v r ˙ = a A B cos ⁡ 45 ° = 1,25 cos ⁡ 45 °

v r ˙ = 0,884   m / s 2

Passo 3

O valor v r ˙ que acabamos de calcular pode ser descrito como a aceleração tangencial do avião vista pelo paraquedista, ou seja, a taxa em que a velocidade dele aumenta em módulo, aos olhos do paraquedista.

Da mesma forma, temos a aceleração normal vista pelo paraquedista, que é a outra componente da aceleração relativa:

a A B n = a A B   s e n   45 ° = 1,25 sen ⁡ 45 °

a A B n = 0,884   m / s 2

Assim, usando a fórmula de aceleração normal, podemos calcular o raio de curvatura ρ r visto pelo paraquedista desse modo:

v A B 2 ρ r = 0,884

Lembrando que v A B = 50   i + 50   j   m / s , seu módulo v A B é obtido:

50 2 + 50 2 2 ρ r = 0,884

ρ r = 50 2 + 50 2 0,884

ρ r = 5660   m

Resposta

(a) v A B = 50   i + 50   j   m / s

a A B = 0   i + 1,25   j   m / s 2

(b) v r ˙ = 0,884   m / s 2

ρ r = 5660   m

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