Enunciado

Quando o mastro  O A  está na posição mostrada, a força trativa no cabo  A B  vale 3   k N . ( a ) Usando as coordenadas mostradas, escreva, na forma vetorial, a força trativa exercida na pequena arruela no ponto  A .   ( b ) Determine o momento dessa força em relação ao ponto  O  e indique os momentos em relação aos eixos  x ,   y   e   z .   ( c ) Determine a projeção desta força trativa sobre a linha  A O .

Passo 1

Para facilitar nosso raciocínio, vamos tomar o seguinte desenho:

Podemos calcular a medida A B - por meio da lei dos cossenos:

A B - 2 = 8 2 + 10 2 - 2 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ cos ⁡ 120 °

A B - = 15,6205 m

Então, a força trativa na forma vetorial será

T a b = 3 ⋅ - cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ 35 ° i ^ - cos ⁡ θ ⋅ s en ⁡ 35 ° j ^ - s e n θ   k ^

T a b = 3 k N ⋅ - 8 + 10 ⋅ cos ⁡ 60 ° 15,6205 ⋅ cos ⁡ 35 ° i ^ - 8 + 10 ⋅ cos ⁡ 60 ° 15,6205 ⋅ sen ⁡ 35 ° j ^ - 10 ⋅ cos ⁡ 60 ° 15,6205   k ^

T a b = - 2,05 i ^ - 1,432   j ^ - 1,663 k ^   k N

Passo 2

Para o segundo item vamos calcular o momento em relação ao ponto O assim

M o = r O B × T a b

M o = 8 m ⋅ - cos ⁡ 35 ° i ^ - s e n 35 °   j ^ × - 2,05 i ^ - 1,432   j ^ - 1,663 k ^   k N

M o = 8 k N ⋅ m ⋅ - cos ⁡ 35 ° i ^ - s e n 35 °   j ^ + 0   k ^ × - 2,05 i ^ - 1,432   j ^ - 1,663 k ^

Calculando o produto vetorial com o determinante obtemos

M o = 7,63   i ^ - 10,90   j ^   k N ⋅ m

Sendo assim, teremos

M o x = 7,63   k N ⋅ m M o y = - 10,90   k N ⋅ m M o z = 0

Passo 3

O módulo T A O da projeção da força sobre a linha A O é obtido por meio do produto escalar:

T A O = T a b ⋅ n a o

Onde n a o é o vetor unitário nessa direção. Então

T A O = - 2,05 i ^ - 1,432   j ^ - 1,663 k ^ ⋅ - cos ⁡ 60 ° ⋅ cos ⁡ 35 ° i ^ - cos ⁡ 60 ° ⋅ sen ⁡ 35 ° j ^ - s e n 60 °   k ^

T a o = 2,69   k N

Pronto, tá resolvido nosso problema.

Resposta

a   T a b = - 2,05 i ^ - 1,432   j ^ - 1,663 k ^   k N

b M o = 7,63   i ^ - 10,90   j ^   k N ⋅ m ,     M o x = 7,63   k N ⋅ m M o y = - 10,90   k N ⋅ m M o z = 0

c   T A O = 2,69   k N

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